Untervektorraum x1,x2,x3

Question

Untervektorraum:

$$\begin{pmatrix} x1\\x2\\x3 \end{pmatrix}\in R^{n}:x1\geq0$$

Mein Ansatz:

$$Nullvektor   (0,0,0)   –> x1\geq0$$

$$u+v \in U1:$$

$$(x1+y1)+(x2+y2)+(x3+y3) wenn x1\geq0 und y1\geq0 ist, so ist (x1+y1)\geq0$$

Beim Skalarprodukt brauch ich Hilfe. :)

Comments

Für was genau brauchst du das skalarprodukt? Du müsstest doch jetzt nurnoch zeigen, dass ein Vektor u aus U1 mit einem Skalar multipliziert immer noch in U1 liegt.

Jetzt kommt es darauf an über welchen Körper du deinen Vektorraum definiert hast.

zB R wäre falsch.

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Also angenommen a=-1 und x1=1, so ist a*x1=-1 und somit nicht größer gleich null?

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Ja genau. Aber es kommt hier ja auch auf deinen definierten Körper an. Ein körper bei dem du einen UR hättest wäre zum Beispiel der F₂

_LG

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Das versteh ich leider nicht.

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Naja man definiert einen Vektorraum über einem Körper K. Dh. die Einträge aus den Vektoren und die Skalare mit denen man die Vektoren skalieren kann sind aus diesem Körper.

Deine Überlegung war schon richtig wenn du den Körper der Reellen zahlen hast und dann deinen Vektor mit -1 skalierst dann liegt dein Vektor nicht mehr in deinem Unterraum.

Betrachtet man jetzt aber zB einen anderen Körper zB den F₂ der aus den Elementen 0 und 1 besteht könnte es sich hier schon um einen Unterraum handeln, es hängt als von dem Körper ab auf dem dein Vektorraum definiert ist.

Der Körper müsste in der Aufgabenstellung stehen. (zB. Sei V ein R- Vektorraum, oder sei V ein Vektorraum über C etc.)

Ich hoffe das konnte dir jetzt weiterhefen.

LG Simon

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Okay, ich verstehe. Danke :)

Answer 1

\(M := \left\{\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{n}:x_1\geq0\right\}\)

ist kein Untervektorraum von \(\mathbb{R}\) , weil \(M\) keine Gruppe bezüglich der Addition ist, weil

\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1\\0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

ist, aber

\( \begin{pmatrix} -1\\0\\0 \end{pmatrix} \notin M \)

ist.