Zeigen Sie: Gilt λ_i = 0, so sind v und b_i linear unabhängig.

Question

Wie zeigt man folgende Aufgabe:

$$\text{Es sei } V \text{ ein } \mathbb{K} - \text{ Vektorraum, } B=(b_1,...,b_n) \text{ eine Basis von } V \text{ und } v ∈ V \text{ ein beliebiger Vektor mit } v=λ_1b_1+...+λ_nb_n \text{ und } v ≠ 0. \text{ Zeigen Sie: Gilt } λ_i = 0, \text{ so sind } v \text{ und }b_i \text{ linear unabhängig.}$$

Folgende Idee: B ist Basis von K-Vektorraum V, also beliebiger Vektor kann definiert werden als Linearkombination von Vektoren gehörend zur Basis wenn λ_i = 0, dann λ_ib_i =0, also b_i ist kein Bestandteil des Vektors v=λ_1b_1+...+λ_nb_n

Daraus folgt logisch, dass v und b_i linear unabhängig sind, wenn Vektoren linear abhängig sind, wenn sie ein Vielfaches des Anderem sind. Da aber keine Zahl existiert wo mit der Multiplikation mit b_i den Vektor v_i ergeben wird, sind b_i und v linear unabhängig.

Stimmt das erstmal soweit? Wenn ja, wie schreibt man das am Besten formal ordentlich auf?
Danke schon mal für eure Hilfe.

Answer 1

o.B.d.A sei \( i = n \)
Dann ist zu zeigen, dass aus \( \alpha v + \beta b_n = 0 \) folgt, \( \alpha = 0 \) und \( \beta = 0 \). Sei also
$$  \alpha v + \beta b_n = \sum_{k=1}^{n-1} \alpha \lambda_i b_i +  \beta b_n = 0  $$ Da die \( b_i \) eine Basis bilden, folgt $$ \alpha \lambda_i = 0  $$ und $$ \beta = 0 $$ Angenommen es gilt \( \alpha \ne 0 \) dann ist \( \lambda_i = 0 \) für \( i = 1 \cdots n-1 \) und damit \( v = 0 \) im Widerspruch zur Annahme \( v \ne 0 \)
Damit gilt \( \alpha = 0 \) und \( \beta = 0 \). Also sind \( v \) und \( b_n \) linear unabhängig.

Answer 2

Wo benutzt du v≠0 ?

Ich würde ganz klassisch vorgehen:

Sei v=λ_1b_1+...+λ_nb_n mit b_i=0 .

Und seien x,y ∈ K mit x*v + y*bi = 0

==>   x*λ_1b_1+...y*b_i+...+x*λ_nb_n = 0

Da b1,...,bn eine Basis bilden, sind sie

lin. unabh., also

x*λ_1=0   und ... und y=0  ... und  x*λ_n=0

Also jedenfalls y=0. Und da v≠0 ist, gibt es

ein j ∈ {1,...n} \ {i} mit  λ_j≠0.

Wegen x*λ_j = 0 gilt also auch x=0.

Also folgt aus x*v + y*bi = 0 auf diese

Weise x=y=0. Also v und bi lin. unabh.