Anfangsproblem: Finde Funktion die gegebene Gleichung erfüllt

Question

Aufgabe:

Lösen Sie das Anfangswertproblem

$$ \left\{\begin{array}{l} z^{\prime}(t)=z(t)^{2} \cdot t, \quad t \in \mathbb{R} \\ z(1)=-1 \end{array}\right. $$

Bestimmen Sie dazu eine stetig differenzierbare Funktion \( z: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), die die gegebenen Gleichungen erfüllt. Hinweis: Wenn Sie informell rechnen, dann müssen Sie Ihr Ergebnis durch eine Probe verifizieren.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine Idee wie ich diese Altklausuraufgabe lösen kann :(

Anfangswertproblem durch trennung der Variablen kann ich... aber so??

Vielen Dank und Liebe Grüße!

Answer 1

Hallo,

z'(t)= z(t)^2 *t ->Trennung der Variablen

dz/dt= z(t)^2 *t

dz/z^2= t *dt

-1/z =t^2/2 +C | Reziproke nehmen

-z= 1/(t^2/2 +C)

z= -1/(t^2/2 +C)

AWB einsetzen: z(1)= -1

-1/2= (-1)/((1/2)+C) |*(-1)

1/2=1/((1/2)+C)

C=1/2 ----->

z= -1/(t^2/2 +1/2)

z=(-2)/(t^2+1)

Answer 2

Aloha :)

$$\left.z'(t)=z^2(t)\cdot t\quad\right|\quad z'=\frac{dz}{dt}$$$$\left.\frac{dz}{dt}=z^2(t)\cdot t\quad\right|\quad\cdot dt$$$$\left.dz=z^2(t)\cdot t\,dt\quad\right|\quad:z^2$$$$\left.\frac{1}{z^2}dz=t\,dt\quad\right|\quad\text{integrieren}$$$$\left.-\frac{1}{z}=\frac{1}{2}t^2+c_1\quad\right|\quad c_1=\text{const}$$Die Integrationskonstante folgt aus der Anfangsbedingung:$$-1=z(1)\quad\Rightarrow\quad1=-\frac{1}{z(1)}=\frac{1}{2}\cdot1^2+c_1=\frac{1}{2}+c_1\quad\Rightarrow\quad c_1=\frac{1}{2}$$Damit können wir weiter rechnen:$$\left.-\frac{1}{z}=\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{2}\quad\right|\quad\cdot2$$$$\left.-\frac{2}{z}=t^2+1\quad\right|\quad\text{Kehrwert}$$$$\left.-\frac{z}{2}=\frac{1}{t^2+1}\quad\right|\quad\cdot(-2)$$$$\left.z(t)=-\frac{2}{t^2+1}\quad\right.$$

Answer 3

Alternativ definiere \(h(t):=t^2+\dfrac2{z(t)}\). Es ist \(h^\prime(t)=0\) für alle \(t\). Daher existiert eine Konstante \(c\) mit \(h(t)=c\). Insbesondere ist \(c=h(1)=-1\). Es folgt \(z(t)=\dfrac{-2}{1+t^2}\).