Lösen von Betragsgleichungen(reele Lösungen)

Question

Welche reellen Lösungen besitzen diese Beitragsgleichungen?

a) |x² -x| = 24

b) |x+1| = |x-1|

c) |2x+4| -x² +x+6

d) |x² +2x-1| = |x|

Answer 1

a) |x² -x| = 24

|x*(x -1)| = 24  

x² -x - 24 = 0

x₁= - \( \frac{1}{2} \) + \( \sqrt{\frac{1}{4}+24} \)

x₂= - \( \frac{1}{2} \) - \( \sqrt{\frac{1}{4}+24} \)

b) |x+1| = |x-1|

X=0

c) |2x+4| -x2 +x+6 Wo ist =

Comments

|2x+4|= -x^2 +x+6

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Warum keine Fallunterscheidung?

Du kannst die Betragsstriche nicht einfach weglassen.

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Bei a) konnte man die Beträge weglassen , da die Nullstellen von

x(x-1) bei x=0 und x=1 liegen, also die negativen Möglichkeiten nur zwischen 0 und 1 liegen. Die Lösungen liegen aber außerhalb, was man doch schon am Anfang sehen konnte.

b) Wenn x positiv ist führt es zum Widerspruch, wenn es negativ ist, führt es auch zum Widerspruch, also kann es nur 0 sein

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In der Schule wird mW ein anderer Weg erwartet.

Deine Lösung passt nur für Sonderfälle. Der Schüler sollte indes die

allgemeine Methode beherrschen.

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Die anderen Aufgaben wurden doch schon gelöst, warum sollte ich das nochmal schreiben. Wie es in der Schule gemacht wird, kann ich nicht sagen.

Answer 2

|x^2 - x| = 24
x^2 - x = ± 24 --> x = 1/2 - √97/2 ∨ x = √97/2 + 1/2

|x + 1| = |x - 1|
x + 1 = ± (x - 1) → x = 0

|2·x + 4| - x^2 + x + 6
Dies ist keine Betragsgleichung

|x^2 + 2·x - 1| = |x|
x^2 + 2·x - 1 = ± x --> x = - √5/2 - 1/2 ∨ x = √5/2 - 1/2 ∨ x = - √13/2 - 3/2 ∨ x = √13/2 - 3/2

Comments

|2x+4|= -x2 +x+6

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Dann gilt

|2·x + 4| = - x^2 + x + 6

- x^2 + x + 6 = ± (2·x + 4) --> x = -2 ∨ x = 1 ∨ x = 5 ∨ x = -2

Answer 3

|x^2 -x| = 24

\( \left|x^{2}-x\right|=24 \)
\( \sqrt{\left(x^{2}-x\right)^{2}}=\left.24\right|^{2} \)
\( \left(x^{2}-x\right)^{2}-24^{2}=0 \)
\( \left[x^{2}-x+24\right] \cdot\left[x^{2}-x-24\right]=0 \)
\( x^{2}-x+24=0 \rightarrow \) keine Lösungen in \( \mathbb{R} \)
\( x^{2}-1 x=24 \)
\( (x-0,5)^{2}=24,25 \mid \sqrt{ } \)
1. \( ) x-0,5=\sqrt{24,25} \)
\( x_{1}=0,5+\sqrt{24,25} \approx 5,42 \)
2. \( ) x-0,5=\sqrt{24,25} \)
\( x_{2}=0,5-\sqrt{24,25} \approx-4,42 \)