Wie lang müssen die Seitenlängen sein, damit der Flächeninhalt maximal wird? - Extremwertprobleme

Question

Aufgabe: Zwischen Ursprung und Graph einer Funktion f(x) = -x²+3 ist wie abgebildet ein achsenparalleles Rechteck „eingesperrt“. Eine Ecke des Rechtecks ist im Ursprung, die gegenüberliegende Ecke P liegt auf dem Graphen von f. Wie müssen die Seitenkanten des Rechtecks gewählt werden, damit der Flächeninhalt maximal wird?

Problem/Ansatz: Also das ist ja eine Aufgabe zu den Extremwertproblemen. Da muss man ja zuerst die Hauptbedingung und die Nebenbedingung bestimmen.

Als Hautpbedingung habe ich jetzt f= a*b

Weiter komme ich leider nicht...

Answer 1

Hallo Julia,

mache dir klar, dass b = f(a) ist.

Daraus ergibt sich \(A=a\cdot f(a)\\=a\cdot (-a^2+3)\\\)

Ausmultiplizieren, Ableitung bilden und = null setzen.

[spoiler]

$$A=-a^3+3\\A'=-3a^2+3\\ -3a^2+3=0\\-3a^2=-3\\a^2=1\\a=\pm 1 $$

[/spoiler]

Gruß, Silvia

Answer 2

Dein Rechteck hat die gegenüberliegenden Eckpunkte

$$A(0|0) \text{ und } P(x|f(x)) \text{.}$$

Damit erhältst du ein Rechteck aus den Punkten

$$A(0|0) \text{ und } B(x|0) \text{ und } P(x|f(x)) \text{ und } D(0|f(x)) \text{ entgegen des Uhrzeigersinns.}$$

Dann sollte es dir auch nicht schwerfallen z.B.

$$a=\overline{AB}=x-0=x \text{ und } b=\overline{AD}=f(x)-0=f(x) \text{ als Nebenbedingungen aufzustellen.}$$