Question

Bestimme die relativen Extremstellen der Funktion y=x^4−4x^3+7.

Die erste Ableitung ist 4x^3-12x^2

Wie setze ich das 0?

Answer 1

Wie setze ich das 0?

Schreibe dahinter ein Gleichheitszeichen und dahinter eine 0.

PS: Wenn du Lust hast, darfst du noch x² ausklammern.

Du darfst sogar 4x² ausklammern.

Answer 2

Hallo,

du kannst \(4x^2\) ausklammern:
$$\begin{aligned}4x^3-12x^2&=0\\ 4x^2(x-3)&=0 \end{aligned}$$ Damit die Gleichung erfüllt ist, muss entweder der erste Faktor oder der zweite Faktor 0 sein:
$$\begin{aligned}4x^2&=0\\x^2&=0 \implies x_{1,2}=0\end{aligned}$$ bzw.
$$\begin{aligned} x-3&=0\\ x&=3 \implies x_3=3\end{aligned}$$ Damit hast du die zwei Nullstellen gefunden.

Für die Extremstellen musst du dir nun noch die zweite Ableitung anschauen und die Nullstellen der ersten Ableitung einsetzen. Wenn \(f''(x_0)>0\) gilt, dann ist es ein Minimum, für \(f''(x_0)<0\) ein Maximum und bei \(f''(x_0)=0\) handelt es sich eventuell um einen Terassen- oder Sattelpunkt.

Comments

vielen Dank!

Ich wusste nur das mit dem 1. und 2. Faktor nicht. Ich wollte es in einem machen!

Answer 3

Hallo Claudia,

Willkommen in der Mathelounge!

Die erste Ableitung ist 4x³-12x²
Wie setze ich das 0?

Klammere das \(x^2\) aus ... $$\begin{aligned} 4x^3 - 12x^2 &= 0 \\ (4x-12)x^2 &= 0 && |\, \div 4 \\ (x-3)x^2 &= 0 \end{aligned}$$ der Ausdruck ist \(0\), wenn \(x=0\) ist oder \(x-3=0\). Somit erhält man die Lösungen \(x_{1,2}=0\) und \(x_3=3\). Die erste Nullstelle ist eine doppelte Nullstelle.

Bilde noch die zweite Ableitung $$f''(x) = 12x^2 - 24x $$und setze die Lösungen dort ein. \(f''(3) \gt 0\) d.h. hier liegt ein Minimum vor. \(f''(0)=0\) ... dann schaut man sich am besten den Graphen mal an

~plot~ x^4-4x^3+7;[[-4|8|-25|20]];x=3 ~plot~

... dort liegt ein Sattelpunkt vor. \(x=3\) ist also die einzige Extremstelle.

Answer 4

Extrempunkte f'(x) = 0
4·x^3 - 12·x^2 = 4·x^2·(x - 3) = 0
x^2 = 0 → x = 0 (Achtung: doppelte Nullstelle und damit ein Sattelpunkt)
x - 3 = 0 → x = 3 (VZW von - nach + und damit ein Tiefpunkt)

f(0) = 7 → Sattelpunkt SP(0 | 7)
f(3) = -20 → Tiefpunkt TP (3 | -20)

Skizze

~plot~ x^4-4x^3+7;{0|7};{3|-20};[[-6|6|-25|25]] ~plot~

Answer 5

f(x)=x^4-4*x³+7

f´(x)=0=4*x³-12*x²  Nullstellen bei x1=0 sieht man so schon,weil da nur Terme mit x vorhanden sind

0=x*(4*x²-12*x)  Satz vom Nullprodukt c=a*b hier c=0 wenn a=0 oder b=0 oder a=b=0

0=4*x²-12*x dividiert durch 4

0=x²-3*x hat die gemischtquadratische Form mit q=0 → 0=x²+p*x Nullstellen bei x1=0 und x2=-p

x2=-(-3)=3

f´´(x)=0=12*x²-24*x    0=x²-2*x Wendepunkt bei xw1=0 und xw2=-(-2)=2

f´´(3)=12*3²-24*3=36>0 also ein Minimum bei xmin=3

f´´´(x)=24*x-24   f´´´(2)=24*2-24=24≠0 → Wendepunkt

f´´´(0)=24*0-24=-24≠0  und f´(0)=12*0²-24*0=0  also Sattelpunkt bei xsattel=0

Infos,Kurvendiskussion,vergrößern und/oder herunterladen

Text erkannt:

Kurvendiskusaion \( f^{\prime}(x)=0 \quad \) and \( f^{\prime}:(x) \)
$$ \text { NULL } f^{\prime}(x)-0 $$
Hinweis: Der "Sattelpunkt" (Terrassenpunkt oder STufenpunkt) \( 13 \mathrm{t} \) ein besonderer Wendepunkt, bel dem die Tangentenstetgung NULL Ist.
$$ f^{*}(x)=m=0 $$
Der "Wendepunkt" trennt 2 Kurvenboren, "konkav" und "konvex" Krummung "k" aus dem Mathe-Pormel buch, Kapitel, "Differentialgeometrie". Forme \( 1 \quad k=y^{\prime} \cdot \nu\left(1+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right)^{(3 / 2)} \)
\( k<0 \) konvex (Rechtskrumung) von oben gesehen \( k>0 \) konkav (Linkskrumang) von oben gesehen
\( y^{\prime}-f^{\prime}(x) \) ist die \( 1 . \) te
$$ y=f(x)=\ldots $$
Parabel
$$ f(x)=a 2 * x^{2}+a 1 * x+a o $$
\( f^{\prime}(x)=2^{*} a 2^{*} x+a 1 \)
\( f^{\prime} \cdot(x)=2^{*} a 2 \quad \) hat somit "kelnen Wendepunkt \( ^{\prime \prime} \)
kubische Punktion \( f(x)=a 3 * x^{3}+a 2 \cdot x^{2}+a 1 * x+a \)
\( f^{\prime \prime} \cdot "(x)=6^{*} a^{3} \)
biguadratische Punktion Diese Funktion ergibt sich aus der "ganzrationalen Funktion \( 4 . \) Gra des" \( y=f(x)=a 4^{*} x^{4}+a 3 * x^{3}+a 2 * x^{2}+a 1 * x+a o \)
Bed 1 ngung "Achssymmetrie" \( f(x)=f(-x) \) und Exponenten negerade "Punktsynetrie" \( f(x)=-1 * f(-x) \) "

~plot~x^(4)-4*x^(3)+7;[[-4|4|-25|20]];x=3 ~plot~