Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe. x^{-1}y ∈ H.... Folgern Sie für |G| < ∞ den Satz von Lagrange: |H| teilt |G|.

Question

Sei \( G \) eine Gruppe, und \( H \) eine Untergruppe von \( G . \)

(1) Zeigen Sie, dass die auf \( G \) durch

$$ x \equiv_{H} y \quad \longleftrightarrow \quad x^{-1} y \in H \quad(x, y \in G) $$
definierte Relation eine Äquivalenzrelation darstellt. Zeigen Sie weiter, dass die Äquivalenzklasse von \( g \in G \) bezüglich \( \equiv_{H} \) gleich \( g H=\{g h | h \in H\} \) ist.

(2) Zeigen Sie, dass \( \mu_{g}: H \rightarrow g H, h \mapsto g h \) für jedes \( g \in G \) eine Bijektion darstellt.

(3) Folgern Sie für \( |G|<\infty \) den Satz von LAGRANGE: \( |H| \) teilt \( |G| \)

Comments

xx-1 ∈ H gilt, weil das neutrale Element in jeder Untergruppe ist.

xy−1 ∈ H ==>  yx-1 ∈ H. Denn das zweite ist das Inverse vom ersten.

Und für transitiv benutze die Abgeschlossenheit von H.

Answer 1

bei a) gilt \( x^{-1}x = 1 \in H \), da das neutrale Element in einer Gruppe enthalten ist und \( H \) eine Gruppe ist. Dies entspricht der Reflexivität der Äquivalenzrelation.

Aus \( x^{-1}y \in H \) und \( y^{-1}z \in H \) folgt \( x^{-1}yy^{-1}z = x^{-1}z \in H \), da \( H \) als Gruppe abgeschlossen unter Multiplikation ist. Dies entspricht der Transitivität der Äquivalenzrelation.

Da mit \( x^{-1}y \) auch \( (x^{-1}y)^{-1} =  y^{-1}x \) als Inverses in der Gruppe \( H \) existiert, gilt die Symmetrie-Eigenschaft der Äquivalenzrelation.

Da in b) \( G \) eine Gruppe ist, existiert zu jedem \( g \in G \) das Inverse \( g^{-1} \in G \). Folglich lässt sich die Multiplikation mit einem Gruppenelement \( g \) bijektiv umkehren durch die Multiplikation mit dem inversen Gruppenelement \( g^{-1} \).

c) Die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation sind daher alle gleichmächtig, da man durch die genannten Bijektionen von einer in die andere Äquivalenzklasse übergehen kann. Eine dieser Äquivalenzklassen bildet gerade H.

Da alle Äquivalenzklassen gleichmächtig (mit der Mächtigkeit |H|) und paarweise disjunkt sind, ist die Mächtigkeit von G ein Vielfaches der Mächtigkeit von H, mit anderen Worten teilt |H| die Ordnung |G|.

MfG

Mister