Für welche Produktionsmenge ist der Gewinn maximal?

Question

So gestern wurde mir schon bei einer anderen Aufgabe geholfen. Jetzt hab ich eine andere Frage und zwar:
Bei welche Produktionsmenge ist der Gewinn maximal ?

Gegeben ist : K(x) =2x^{3}-18x^{2}+60x+32

                         E(x)= 50x

                         G(x)= -2x^{3}+18x^{2}-10x-32

                         Die  Nullstellen hab ich schon berechnet x1= 1,89

                                                                                                    x2= 8,1

Mein Ansatz ist, dass ich den Hochpunkt berechne, aber ich weiss nicht wie das geht.

Vielen Dank

Answer 1

G(x) = - 2·x^3 + 18·x^2 - 10·x - 32

Bedingung für einen Hochpunkt ist das die erste Ableitung null wird.

G'(x) = - 6·x^2 + 36·x - 10 = 0
x = 5.708012801 [∨ x = 0.2919871984]

G(5.708) = 125.4 GE

Bei 5.708 ME ist der Gewinn maximal. er beträgt dann 125.4 GE.

Comments

Achso, also erstmal erste Ableitung der Gewinnfunktion. Dann die Ableitung gleich 0 setzen und dann nach x auflösen. Und schließlich das x in die Ursprungfunktion einsetzen oder?

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Wie berechne ich bei G´(x) die Nullstelle? Ich hab es so versucht::

-6x^{2}+36x-10

x(-6x+36)

Dann wären die Nullstellen ja x1=0 und x2= 6

Was ja nicht stimmt

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Nun, du darfst die - 10 nicht einfach unter den Tisch fallen lassen ...

Setze

- 6 x ² + 36 x - 10 = 0

und löse nach x auf:

<=> - 6 x ² + 36 x = 10

<=> x ² - 6 x = - 10 / 6 = - 5 / 3

Auf beiden Seiten quadratische Ergänzun addieren:

<=> x ² - 6 x + 3 ² = 3 ² - 5 / 3 = 22 / 3

<=> ( x - 3 ) ² = 22 / 3 

<=> x - 3 =  ± √ ( 22 / 3 )

<=> x = ± √ ( 22 / 3 ) + 3

<=> x = 0,292... oder x = 5,708...

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Wenn du ausklammerst darf kein absolutes Glied wie die -10 vorhanden sein.