Sei G eine nicht-triviale, endliche Gruppe!

Question

Aufgabe:

Sei \( G \) eine nicht-triviale, endliche Gruppe
a) Sei \( a \in G . \) Wie zeige ich, dass es ein \( n \geq 1 \) gibt mit \( a^{n}= \) e.
b) Wie zeige ich: \( G \) enthält eine nicht-triviale, zyklische Gruppe als Untergruppe.
D.h. es gib ein \( k \in \mathbb{N}_{\geq 1} \) und einen Gruppenhomomorphismus
\(\Psi:\left(\mathbb{Z}_{k},+, 0\right) \rightarrow\left(G, \odot_{G}, \mathrm{e}_{G}\right)\)
der injektiv ist. (Er ist also bijektiv zu dem Bild \( \left.\Psi\left(\mathbb{Z}_{k}\right) .\right) \)

Problem/Ansatz:

ich habe diese Aufgabe zu lösen und ich komme nicht weiter! Könnte mir jemand bitte helfen?! :)

Comments

Tipp: Die Gruppe ist endlich, deswegen kann \(a^n\) nicht für alle \(n\) verschiedene Elemente sein. Außerdem ist \(a\neq \mathrm{e}\), sonst wäre die Gruppe trivial.

Answer 1

zu a)  Sei a ∈ G.

a)   Falls a=e dann ist ja a^1 = e und die Beh. erfüllt.

Ansonsten betrachte die Folge der Potenzen

a^1    a^2   a^3  ....

Das sind alles Elemente von G (Abgeschlossenheit)

und da G endlich ist, sind irgendwann zwei gleiche in dieser

Folge etwa a^m = a^k  etwa mit m>k.

==>   a^m = a^k * a^(m-k) = a^k

Und da a^k ein Inverses besitzt gibt die Linksmultiplikation dieser

Gleichung mit dem inversen von a^k :

                  a^(m-k) = e

und m-k ist das gesuchte n.

Comments

Achso ok, vielen Dank!

und bei b)  ? ;-b

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\(a=\mathrm{e}\) ist ausgeschlossen, die Gruppe wäre sonst trivial. Außerdem fehlt die Angabe \(m,k\in \mathbb{N}\) mit \(m>k\), sodass \(m-k\in \mathbb{N}\).

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Warum m,k ∈ G ?

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Ehh, ich meinte aus den natürlichen Zahlen. Sorry.

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@Doesbaddel

Bei : "Sei a ∈ G."  kann doch das betrachtete a gleich e sein,

ohne dass dies das einzige Element der Gruppe ist.

außerdem:  Die Vor. "nicht-trivial" wird m.E. gar nicht gebraucht.