Aloha :)$$M:=\left\{x\in\mathbb K\setminus\{b\}\;\left|\;\frac{ax-a^2}{x-b}>b\right.\right\}\quad;\quad b>a>0$$Beim Rechnen mit Ungleichungen muss man immer höllisch aufpassen, ob man auf beiden Seiten Multiplikationen mit oder Divisionen durch negative Zahlen durchführt, weil sich dadurch das Relationszeichen umkehrt. Daher müssen wir beim Auflösen der Ungleichung nach \(x\) zwei Fälle unterscheiden:
1. Fall: \(x>b\)
$$\left.\frac{ax-a^2}{x-b}>b\quad\right|\quad\cdot(x-b)\text{ , was nach Voraussetzung des Falles positiv ist}$$$$\left.ax-a^2>bx-b^2\quad\right|\quad-ax$$$$\left.-a^2>bx-ax-b^2\quad\right|\quad+b^2$$$$\left.b^2-a^2>bx-ax\quad\right|\quad\text{links 3-te binomische Formel, rechts \(x\) ausklammern}$$$$\left.(b-a)(b+a)>x(b-a)\quad\right|\quad:\,(b-a)\text{ , was wegen \(b>a\) positiv ist}$$$$b+a>x$$Wegen der Voraussetzung des Falles haben wir also folgende Ungleichungskette:$$b+a>x>b\quad\Leftrightarrow\quad x\in(b\,;\,a+b)$$
2. Fall: \(x<b\)
$$\left.\frac{ax-a^2}{x-b}>b\quad\right|\quad\cdot(x-b)\text{ , was nach Voraussetzung des Falles negativ ist}$$$$\left.ax-a^2<bx-b^2\quad\right|\quad-ax$$$$\left.-a^2<bx-ax-b^2\quad\right|\quad+b^2$$$$\left.b^2-a^2<bx-ax\quad\right|\quad\text{links 3-te binomische Formel, rechts \(x\) ausklammern}$$$$\left.(b-a)(b+a)<x(b-a)\quad\right|\quad:\,(b-a)\text{ , was wegen \(b>a\) positiv ist}$$$$b+a<x$$Weil \(x\) nach Voraussetzung des Falles kleiner als \(b\) ist, kann es bei positivem \(a\) nicht zugleich auch größer als \(a+b\) sein. Dieser Fall liefert also keine Lösung.
Als Gesamtintervall haben wir also gefunden: \(\boxed{x\in(b\,;\,a+b)}\)
