Aloha :)
Gegeben ist die rekursiv definierte Folge$$a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{2}{a_n}=\frac{a_n^2+4}{2a_n}\quad;\quad a_1=3$$
Möglicher Grenzwert:
Um eine Idee für einen möglichen Grenzwert zu bekommen, nehmen wir an, die Folge konvergiere gegen \(a\). Dann gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n^2+4}{2a_n}\;\;\Rightarrow\;\;a=\frac{a^2+4}{2a}\;\;\Rightarrow\;\;2a^2=a^2+4\;\;\Rightarrow\;\;a^2=4$$Die negative Möglichkeit \(a=-2\) können wir verwerfen, weil in der Rekursion keine Subtraktion und keine negative Zahl vorkommt. Wenn ein Grenzwert existiert, ist dieser also \(a=2\).
Beschränktheit:
Zum Nachweis der Konvergenz zeigen wir zunächst mittels vollständiger Induktion, dass die Folge \((a_n)\) durch \(a=2\) nach unten beschränkt ist:
1) Vermutung:$$a_n>2\quad \text{ für alle }n\in\mathbb N$$
2) Verankerung bei \(n=1\):$$a_1=3>2\quad\checkmark$$
3) Induktionsschritt:$$\phantom{\Leftrightarrow}\;\;\left.a_{n+1}\stackrel?>2\quad\right|\quad\text{Rekursionsformel einsetzen}$$$$\Leftrightarrow\;\;\left.\frac{a_n}{2}+\frac{2}{a_n}>2\quad\right|\quad\cdot2a_n\text{ , was nach IV positiv ist}$$$$\Leftrightarrow\;\;\left.a_n^2+4>4a_n\quad\right|\quad-4a_n$$$$\Leftrightarrow\;\;\left.a_n^2-4a_n+4>0\quad\right|\quad\text{2-te binomische Formel}$$$$\Leftrightarrow\;\;(a_n-2)^2>0\quad\checkmark$$Nach Induktionsvoraussetzung ist \(a_n>2\), sodass am Ende eine wahre Aussage steht.
Monotonie:
Wir untersuchen die Folge nun auf Monotonie:$$a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2+4}{2a_n}-a_n=\frac{a_n^2+4}{2a_n}-\frac{2a_n^2}{2a_n}=\frac{4-a_n^2}{2a_n}<0\;\text{, weil }\;a_n>2$$
Zusammenfassung:
Die Folge \(a_n\) ist streng monoton fallend und auf den Wertebereich \(2<a_n\le3\) beschränkt. Daher ist sie konvergent und ihr Grenzwert beträgt \(a=2\).
