Die Konvergenz einer Folge zeigen

Question

Aufgabe zu zeigen, dass die Folge a1=3 und an+1= an/2+2/an konvergent ist

Problem/Ansatz: Ich habe aktuell keinen Ansatz für diese Aufgabe.

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist die rekursiv definierte Folge$$a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{2}{a_n}=\frac{a_n^2+4}{2a_n}\quad;\quad a_1=3$$

Möglicher Grenzwert:

Um eine Idee für einen möglichen Grenzwert zu bekommen, nehmen wir an, die Folge konvergiere gegen $a$. Dann gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n^2+4}{2a_n}\;\;\Rightarrow\;\;a=\frac{a^2+4}{2a}\;\;\Rightarrow\;\;2a^2=a^2+4\;\;\Rightarrow\;\;a^2=4$$Die negative Möglichkeit $a=-2$ können wir verwerfen, weil in der Rekursion keine Subtraktion und keine negative Zahl vorkommt. Wenn ein Grenzwert existiert, ist dieser also $a=2$.

Beschränktheit:

Zum Nachweis der Konvergenz zeigen wir zunächst mittels vollständiger Induktion, dass die Folge $(a_n)$ durch $a=2$ nach unten beschränkt ist:

1) Vermutung:$$a_n>2\quad \text{ für alle }n\in\mathbb N$$

2) Verankerung bei $n=1$:$$a_1=3>2\quad\checkmark$$

3) Induktionsschritt:$$\phantom{\Leftrightarrow}\;\;\left.a_{n+1}\stackrel?>2\quad\right|\quad\text{Rekursionsformel einsetzen}$$$$\Leftrightarrow\;\;\left.\frac{a_n}{2}+\frac{2}{a_n}>2\quad\right|\quad\cdot2a_n\text{ , was nach IV positiv ist}$$$$\Leftrightarrow\;\;\left.a_n^2+4>4a_n\quad\right|\quad-4a_n$$$$\Leftrightarrow\;\;\left.a_n^2-4a_n+4>0\quad\right|\quad\text{2-te binomische Formel}$$$$\Leftrightarrow\;\;(a_n-2)^2>0\quad\checkmark$$Nach Induktionsvoraussetzung ist $a_n>2$, sodass am Ende eine wahre Aussage steht.

Monotonie:

Wir untersuchen die Folge nun auf Monotonie:$$a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2+4}{2a_n}-a_n=\frac{a_n^2+4}{2a_n}-\frac{2a_n^2}{2a_n}=\frac{4-a_n^2}{2a_n}<0\;\text{, weil }\;a_n>2$$

Zusammenfassung:

Die Folge $a_n$ ist streng monoton fallend und auf den Wertebereich $2<a_n\le3$ beschränkt. Daher ist sie konvergent und ihr Grenzwert beträgt $a=2$.

Comments

Was ist bei dem Induktonsschritt gemeint, was nach roemische 4 positiv ist.

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Oh, das "IV" soll "Induktions-Voraussetzung" bedeuten. Wegen $a_n>2$ ist natürlich auch $a_n>0$. Das heißt, wir multiplizieren mit einer positiven Zahl, weshalb sich das Größer-Zeichen nicht umdreht.

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Noch eine Frage : Was ist bei der Beschraenkheit mit Verankerung gemeint.

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Die Beschränktheit haben wir mit Hilfe einer vollständigen Induktion gezeit. Diese erfordert eine Verankerung, also dass die Behauptung für einen Startwert explizit gezeigt wird. Auf dieser Verankerung basiert dann der Induktionsschritt.

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Der Schritt nach dem Einsetzen der Rekursions Formel und wie durch Multiplikation mit 2an die 2te binomische Formel entsteht ist mir nicht klar.

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Es könnte sein, dass ich etwas übersehen habe. Vorab mal vorsichtig Entschuldigung.

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Ich habe die Rekursionsformel $a_n=\frac{a_n}{2}+\frac{2}{a_n}$ links eingesetzt. Dabei wird nichts gerechnet:$$a_{n+1}>2\quad\implies\quad \frac{a_n}{2}+\frac{2}{a_n}>2$$Dann habe ich beide Seiten der Ungleichung mit $2a_n$ multipliziert. Da wir nach Induktionsvoraussetzung ja wissen, dass $a_n>2$ ist, multiplizieren wir mit einer postitiven Zahl, sodass sich des Größer-Zeichen nicht umkehrt. Die Rechnung liefert:$$\left(\frac{a_n}{2}+\frac{2}{a_n}\right)\cdot 2a_n>2\cdot 2a_n$$$$\frac{a_n}{2}\cdot2a_n+\frac{2}{a_n}\cdot 2a_n>2\cdot 2a_n$$$$a_n^2+4>4a_n$$Im nächsten Schritt wird auf beiden Seiten der Ungleichung $4a_n$ subtrahiert. Das ergibt:$$a_n^2-4a_n+4>0$$Jetzt können wir die linke Seite mit Hilfe einer binomischen Formel durch ein Binom ersetzen, denn:$$(a_n^2-2)^2=a_n^2-4a_n+4$$Ersetzen wir die linke Seite dadurch, erhalten wir:$$(a_n-2)^2>0$$Da nach Induktionsvoraussetzung $a_n>2$ ist, gilt diese Ungleichung sicher.Wir haben also die Vermutung vom Anfang$$a_{n+1}\stackrel?>2$$durch Äquivalenzumformungen zu einer wahren Aussage umgewandelt. Also muss unsere Vermutung auch wahr sein, d.h.$$a_{n+1}>2$$