Beweis des Majorantenkritieriums

Question

bei folgender Aufgabe habe ich Probleme:

Beweisen Sie das Majoranen-Kriterium: Für zwei lokal integrierbaren Funktionen f, g: [a,∞)→ℝ gelte, dass \( \int\limits_{a}^{\infty} \) g(x) dx konvergiert und dass |f(x)| ≤ g(x) für alle x∈[b,∞) mit festem b ≥ a. Dann folgt auch

\( \int\limits_{a}^{\infty} \) |f(x)|dx <  ∞

Weiß leider echt nicht, wie ich das beweisen soll. Kann jemand bitte helfen?

Comments

Weiß jemand weiter?

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Cauchy-Kriterium ist bekannt?

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Zerlege das Integral in zwei Teile:

Int ( a bis oo) |f(x)|dx

= Int ( a bis b ) |f(x)|dx

+ Int ( b bis oo ) |f(x)|dx

Das erste Integral ist endlich, das zweite Integral kannst du mit g(x) abschätzen

<  Int ( a bis b ) |f(x)|dx

+ Int ( b bis oo ) g(x)dx

Eventuell musst du die Abschätzung mithilfe riemannscher Summen begründen.