Abschätzung des Restgliedes von Lagrange

Question

Aufgabe:

Sei f(x) := e^{−x^2} cos(x) für x ∈ R. Beweisen Sie die Abschätzung |f(x)−T^f_2,0 (x)| ≤ \( \frac{15}{2} \)  |x|³ für x ∈ [−1,1].

Problem/Ansatz:

Ich habe die Taylor-Formel mit Restglied in der Form von Lagrange als Ansatz und T^f_2,0= 1- 3/2 x² .

Ich weiß nun jedoch nicht was ich wo und wie einsetzen muss bzw. wie man hier überhaupt irgendwas ausrechen soll.

Answer 1

Die Taylorreihe der Ordnung 2 ist das Polynom   \( T_2 f(x,0) = 1 \)

Das Restglied nach Lagrange ist $$ R_2 f(x,0) = \frac{ x^3  e^{-\xi^2} \bigg( 7 \sin(\xi) - 8 \xi^3 \cos(\xi) - 12 \xi^2 \sin(\xi) +18 \xi cos(\xi) \bigg) }{ 6 } $$

Da \( \xi \in [-1,+1] \) liegt, folgt mit der Abschätzung \( |\sin(\xi)| \le 1 \) und \( |\cos(\xi)| \le 1 \) die gewünschte Abschätzung, wenn man noch berücksichtigt das \( e^{-\xi^2} \le 1 \) gilt.