Gegenseitige Lage von Ebenen. Verrechnet bei Schnittgerade?

Question

ich brauche  Hilfe bei folgendem Problem:
Ich muss die Gegenseitige Lage der Ebene

E:3x+6y+4z=36 und der Ebene, die durch die Punkte A(4|4|0), B(0|4|3) und C(0|0|0)

geht, berechnen.
Dazu habe ich erstmal die Paramtergleichung der drei Punkte aufgestellt (ich weiß leider nicht, wie man vektoren schreibt, daher die Schreibweise wie die Punktform):

(4|4|0)+r(-4|0|3)+s(-4|-4|0) und dann x,y und z bestimmt.
x: 4-4r-4s, y: 4-4s und z: 3r.

Das habe ich dann in die andere Ebene eingesetzt und folgendes erhalten:
12-12r-12s+24-24s-12r=36. Vereinfacht ist das: 36-24r-36s=36.
Was kann ich jetzt für eine Aussage treffen? Oder habe ich mich irgendwo verrechnet? Oder kann ich damit jetzt eine Schnittgerade bestimmen?
LG

Answer 1

Aalso, die Ebenengleichung für die drei Punkte A, B und C stimmt. Man kann sie auch parameterfrei machen:

x = 4 - 4*r - 4*s

y = 4 - 4*s -> s = (4-y)/4

z = 3*r  -> r = z/3

x = 4 - 4*z/3 - 4*(4-y)/4 = 4 + 4*z/3 -4 +4*y = 4*z/3 + 4y

E 2: x -4y + 4z/3 = 0 oder 3x - 3y + 4z = 0

Prüfen, ob die Gleichung richtig ist, indem einfach die drei Punkte A, B, C hintereinander einsetzt:

A(4,4,0): 12 - 12 + 0 = 0 ok

B(0,4,-3): 0 - 12 +12 = 0 ok

C(0,0,0) 0 - 0 + 0 = 0 ok

Jetzt die gegenseitige Lage der Ebenen E1 und E2 bestimmen:

E1: 3x + 6y + 3z = 36

E2: 3x - 3y + 4z = 0

1. Ebenen sind identisch, wenn die Gleichungen ganze Vielfache voneinander sind.

Bsp.:  E1 : 2x − 5y + z = 3 und E2 : −4x + 10y − 2z = −6, der Faktor wäre hier "- 2"

Ist hier nicht der Fall !

2. Ebenen verlaufen parallel, wenn die Koeffizienten der beiden Koordinatengleichungen bis auf einen gemeinsamen Faktor identisch sind. Bsp.:  E1 : 6x + 4y − 3z = 8 und E2 : 12x + 8y − 6z= 2, der Faktor wäre hier auf der linken Seite "2"

Ist hier nicht der Fall !

3 und letzte Möglichkeit: Ebenen sind windschief zueinander. Das wird hier wohl der Fall sein.

Comments

Rechenteufel drin:

x = 4 - 4*z/3 - 4*(4-y)/4 = 4 + 4*z/3 -4 +1y = 4*z/3 + 1y E 2: x - 1y + 4z/3 = 0 oder 3x - 3y + 4z = 0

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'Windschief' bei Ebenen im 3dim Raum ist meines Wissens nicht definiert.

"3 und letzte Möglichkeit: Ebenen sind windschief zueinander. Das wird hier wohl der Fall sein."

würde ich anders formulieren.

 

3 und letzte Möglichkeit: Ebenen schneiden sich und haben eine gemeinsame Gerade (Schnittgerade). Das wird hier wohl der Fall sein.

Berechnung dieser Schnittgeraden vgl. die übrigen Antworten.

 

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Stimmt. Windschief war bei Geraden oder? Na ja, sind alt ein paar Jahrzehnte her, als ich das hatte .-)

Answer 2

Sehr einfach in diesem Fall ist eine Aufstellung der Koordinatenform wenn man für die Punkte  A(4|4|0), B(0|4|3) und C(0|0|0) folgende Parametergleichung wählt

x = OC + r * (CA) + s * (CB)
x = [0, 0, 0] + r * [4, 4, 0] + s * [0, 4, 3]

Da der Normalenvektor der Ebene senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren ist bilde ich das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren

[4, 4, 0] X [0, 4, 3] = [12, -12, 16] = 4 * [3, -3, 4]

Jetzt brauch ich nur den Rest der Parametergleichung auf beiden Seiten mit dem Normalenvektor multiplizieren.

x * [3, -3, 4] = [0, 0, 0] * [3, -3, 4]
3x - 3y + 4z = 0

Nun haben wir noch die Ebenengleichung 3x+6y+4z=36.

Da die beiden Normalenvektoren nicht linear Abhängig sind, sind die Ebenen nicht identisch und nicht parallel. Sie besitzen auf jeden Fall eine Schnittgerade. Diese Schnittgerade ist Senkrecht zu den beiden Normalenvektoren, weshalb ich hier auch wieder das Kreuzprodukt verwenden kann.

[3, -3, 4] X [3, 6, 4] = [-36, 0, 27] = -9 * [4, 0, -3]

Jetzt brauche ich nur noch einen Punkt der Ebene. Dazu setze ich die z-Koordinate in den Koordinatengleichungen gleich 0 und Löse das entstehende Gleichungssystem.

3x - 3y + 4*0 = 0
x = y

3x + 6y + 4*0 = 36
3y + 6y = 36
9y = 36
y = 4
x = 4

Damit lautet ein Punkt [4, 4, 0]. Die Schnittgerade hat dann die Parametergleichung

x = [4, 4, 0] + r * [4, 0, -3]

Answer 3

Hallo: Deine Idee müsste eigentlich funktionieren. Ich rechne unten einfach mal weiter, wie wenn bisher alles ok. wäre. Im Vergleich zu Mathecoach kommt es allerdings zu einer kleinen Abweichung. Du musst dann selbst entscheiden, wo du nachrechnen willst.

E:3x+6y+4z=36 und der Ebene, die durch die Punkte A(4|4|0), B(0|4|3) und C(0|0|0)

 die Schreibweise wie die Punktform verwende ich hier auch, da es einfacher geht, und du es ja verstehst.

VEKTORr= (4|4|0)+r(-4|0|3)+s(-4|-4|0) und dann x,y und z bestimmt.
x: 4-4r-4s, y: 4-4s und z: 3r.

Das habe ich dann in die andere Ebene eingesetzt und folgendes erhalten:
12-12r-12s+24-24s-12r=36. Vereinfacht ist das: 36-24r-36s=36.

Aus dem Zusammenhang von r und s folgt:

-36s = 24r

-1.5 s = r

Damit in deine Parametergleichung

g: VEKTORr =(4|4|0)-1.5s(-4|0|3)+s(-4|-4|0) 

= (4/4/0) + ( 6-4 | 0-4| -4.5   )s      = (4/4/0) + (2 / -4 / - 4.5)s

= (4/4/0) + (4/-8/-9)s

Stützpunkt von Schnittgerade und Ebene2 fallen zusammen, wenn r und s direkt proportional voneinander abhängen. 

Ich hab glaub ich soeben deinen Rechenfehler entdeckt. Kommentar folgt.

 

Comments

E:3x+6y+4z=36 und der Ebene, die durch die Punkte A(4|4|0), B(0|4|3) und C(0|0|0) 
 

VEKTORr= (4|4|0)+r(-4|0|3)+s(-4|-4|0) und dann x,y und z bestimmt. 
x: 4-4r-4s, y: 4-4s und z: 3r. 

Das habe ich dann in die andere Ebene eingesetzt und folgendes erhalten: 
12-12r-12s+24-24s+12r=36.

Vereinfacht ist das: 36-36s=36. Also s=0.

Einsetzen in Parametergleichung der Ebene2:

g: VEKTORr = (4/4/0) + r(-4/0/3)

ist die Schnittgerade der beiden Ebenen.

Nun hast du die gleiche Schnittgerade wie Mathecoach.