Seien V,W Vektorräume und f : V → W linea

Question

Aufgabe:

Seien V,W Vektorräume und f : V → W linear. Zeigen Sie:

a) f injektiv <=> ker f = {0}

b) ker f ist ein Untervektorraum von V.

c) Im f ist ein Untervektorraum von W.

Comments

Da Sie offenbar so große Schwierigkeiten mit den Aufgaben auf meinen Übungsblättern haben, dass sie hier sämtliche Aufgaben von zwei Übungsblättern gepostet haben, empfehle ich, besuchen Sie doch meine Vorlesung. Nächster Termin: Morgen 8 Uhr. Dann erkläre ich Ihnen auch, warum Sie sich mit dieser Aufgabe nicht mehr beschäftigen müssen.

Answer 1

Wenn \(f\) injektiv ist, dann gilt \(f(v) = f(0) \implies v=0\).

Ist \(\operatorname{ker} f = \{0\}\), dann gilt \(f(v) = f(w) \implies f(v) - f(w) = 0 \implies f(v-w) = 0\implies v-w = 0 \implies v=w\).