Hallo, wenn dich die Nullstellen interessieren kannst du deinen Term in diesem speziellen Fall auf ein Polynom 3 Grades überführen. Die Nullstellen kannst du dann mit den Cardanoformeln lösen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln#%CE%94_%3C_0_(casus_irreducibilis)
Substituiere \(w=x^2\). Dann wird aus \(f(x)=x^6-6x^2+\sqrt{3}\) die neue Funktion \(f(w)=w^3\underbrace{-6}_{=p}w+\underbrace{\sqrt{3}}_{=q}\).
\(Aw^3+Bw^2+Cw+D=0\) hat drei folgende Lösungen:
\(w_2 = -\,\sqrt{-\frac{4}{3}p} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) + \frac{\pi}{3} \right) - \frac{B}{3A}\\w_1 =\quad\sqrt{-\frac{4}{3}p} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) \right) - \frac{B}{3A}\\w_3 = -\,\sqrt{-\frac{4}{3}p} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) - \frac{\pi}{3} \right) - \frac{B}{3A}\)
Und jetzt nur noch alles in die Formeln einsetzen:
\(A=1, \quad B=0, \quad C=p=-6, \quad D=q=\sqrt{3}\)
\(w_2 = -\,\sqrt{-\frac{4}{3}\cdot (-6)} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{(-6)^3}} \right) + \frac{\pi}{3} \right)\\\quad=-\sqrt{8}\cdot \cos\left(\frac{1}{3}\cdot \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{8}}\right)+\frac{\pi}{3} \right)= 0,29286...\\[15pt] w_1 =\quad\sqrt{-\frac{4}{3}\cdot (-6)} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{(-6)^3}} \right) \right)\\\quad = \quad\sqrt{8} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{8}} \right) \right)= 2,28989...\\[15pt]w_3 =-\,\sqrt{-\frac{4}{3}\cdot (-6)} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{(-6)^3}} \right) - \frac{\pi}{3} \right)\\\quad = -\,\sqrt{8} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{8}} \right) - \frac{\pi}{3} \right)= -2,58275...\)
Und jetzt willst du vielleicht nur die reellen Lösungen haben, weshalb ich jetzt \(w_3\) ignoriere.
Und jetzt muss man nur noch resubstituieren:
\(x_{1,2}=\pm\sqrt{w_2}\approx \pm 0,54117\\ x_{3,4}=\pm\sqrt{w_1}\approx \pm 1,51324\)
