Umkehrfunktion einer Wurzelfunktion

Question

Aufgabe:

Ich suche die Umkehrfunktion der Funktion f(x)=sqrt(1+x^2).

Problem/Ansatz:

Hier komme ich nicht weiter,

y=sqrt(1+x^2)

y^2=1+x^2

x^2=y^2-1

weil ich ohne imaginäre Zahlen rechnen soll. Ist das hier überhaupt möglich?

VG Simplex

Answer 1

Ist das hier überhaupt möglich?

Natürlich. Es soll durchaus y-Werte geben, für die y²-1 nicht negativ ist.

PS: Bevor hier noch weitere Leute mit ihrem Halbwissen Schaden anrichten:

x²=y²-1 lässt die beiden Varianten

x=\( \sqrt{y^2-1} \) und x=\( -\sqrt{y^2-1} \) zu.

Nach dem Vertauschen wird daraus

y=\( \sqrt{x^2-1} \)  als Umkehrfunktion von  der auf x≥0 eingeschränkten Funktion \(f(x)=\sqrt{1+x^2}\) 

bzw.

y=\( -\sqrt{x^2-1} \)  als Umkehrfunktion von der auf x<0 eingeschränkten Funktion \(f(x)=\sqrt{1+x^2}\)

Comments

Ok. Und wie kann man dann die Gleichung so auflösen, dass das Quadrat von dem x weg ist?

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Ich möchte ja am Ende ein einzelnes x auf der linken Seite zu stehen haben.

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Moliets hat es inzwischen auch geschafft.
Was ein wenig Spott doch für Energie freisetzen kann ...

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Die erste Antwort war ehrlich gesagt wirklich daneben. Aber die folgende Antwort hat mich wirklich weiter gebracht.

Schönen Abend noch!

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"Was ein wenig Spott doch für Energie freisetzen kann"

Nach der Zeile mit dem y^2 habe ich mich an die Zeichnung gemacht, drum am Anfang die halbgare Lösung.

Answer 2

y = \( \sqrt{1+x^2} \)

x,y Tausch:

x = \( \sqrt{1+y^2} \)

Auflösen nach y:

x = \( \sqrt{1+y^2} \) |^2

x^2=1+y^2  → y^2= x^2 - 1

Comments

Und wie kann man das Quadrat von dem y eliminieren?

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@moliets

Eine Antwort, die zielsicher am Problem des Fragestellers vorbeigeht (und das vollmundig angekündigte "Auflösen nach y" stirbt auf der Zielgeraden ab).

Respekt!

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1.) y=\( \sqrt{x^2-1} \)

2.) y=-\( \sqrt{x^2-1} \)

Text erkannt:

GeoGebra Classic
\( f(x)=\sqrt{1+x^{2}} \)
\( g: y=\sqrt{x^{2}-1} \)
\( h: y=-\sqrt{x^{2}-1} \)
\( p: y= \)
Eingabe...

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Die Funktion muss also aufgeteilt werden, sodass es einen positiven Term und einen Negativen Term gibt. Ich dachte, man müsste x^2 und -1 separat unter eine Wurzel setzen.

Besten Dank

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Bin gespannt, ob noch ein Kommentar von abakus kommt!