Kern und Bild einer Linearen Abbildung

Question

Gegeben ist eine lineare Abbildung f: IR^3 -> IR^3, die aus der kanonoschen Basis ( v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(0,0,1) ) folgende Bilder erzeugt:

f(v1) = -2*v1 also (-2,0,0)

f(v2) = 2*v2 also (0,2,0)

f(v3) = -4*v1+4*v3 also (-4,0,4)

Wie berechne ich nun Basen von ker(f) und Im(f). Wie finde ich heraus, ob die Abbildung injektiv, bzw. surjektiv ist?

Answer 1

Als erstes notierst du die Matrix der Abbildung:

$$ A = \left( \begin{array} { c c c } { - 2 } & { 0 } & { - 4 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 4 } \end{array} \right) $$

Beachte hierbei, dass du die Matrix von links ans Argument multiplizieren musst, also f(x) = A*x.

Basis von ker(f): Wende den Gaußalgorithmus auf A an, falls sich keine Nullzeilen ergeben, ist der Kern nur ker(f) = {0}

$$ \left( \begin{array} { c c c } { - 2 } & { 0 } & { - 4 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 4 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 2 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 4 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } & { 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) $$

Also gilt ker(f) = {0}

Damit ist die Abbildung außerdem injektiv.

Eine Basis von Im(f) erhältst du, wenn du die Matrix transponierst und dann den Gaußalgorithmus anwendest. Alle Zeilen, die nicht zu Nullzeilen werden, bilden die Basis von Im(f).

$$ \left( \begin{array} { c c c } { - 2 } & { 0 } & { - 4 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 4 } \end{array} \right) ^ { T } \left( \begin{array} { c c c } { - 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { - 4 } & { 0 } & { 4 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) $$

Die Basis von Im(f) ist also die kanonische Basis des ℝ³. Daraus folgt außerdem, dass die Abbildung surjektiv ist, denn jedes Element des ℝ³ wird einmal angenommen.

Comments

Komm ich auf das Bild auch, wenn ich zeige, dass die drei Vektroren f(v1), f(v2), f(v3) linear Unabhängig sind, also dim f(IR^3) = 3 = dim IR^3  => f(IR^3) = IR^3, da v1,..,v3 € RI^3? (€ := "Element von"  :P)

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Ja, ich denke das müsste auch funktionieren. Ich bin nur einfach sehr vernarrt in den Gaußalgorithmus, weil man ihn eigentlich für alles einsetzen kann :-)

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Das Letzte Bild ist doch falsch da die transponierte Matrix der oberen gleicht? Ich seh da keine Transposition

sollte die Matrix (A)^T nicht so aussehen?

(-2 0 0)

(0 2 0)

(-4 0 4)

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Richtig und genau das steht auch da. Im ersten Schritt steht A^T und im zweiten Schritt steht dann die transponierte Matrix, die genau so aussieht wie du sagtest.