Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E (mit Variablen Elimination)

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E

Problem/Ansatz:

Hallo,

ich habe erhebliche Probleme bei der Umsetzung meiner Aufgabe. Die Aufgabe ist der Titel der Frage. Es geht um die Umformung von Parameterform in Koordinatenform mit dem Prinzip vom Gauß Verfahren, also dem eliminieren von Variablen

ich bitte um eine ausführliche und vor allem übersichtliche Antwort und wäre mehr als dankbar!

a) E:x=(-2|4|4)+r(1|-2|0)+s(2|0|-4)

b) E:x=(1|0|1)+r(1|2|1)+s(0|1|1)

Answer 1

Die Umformung von Parameterform in Koordinatenform gelingt am einfachsten, wenn man die Parameterform mit dem Kreuzprodukt ihrer Richtungsvektoren skalar durchmultipliziert. Dabei entsteht eine Normalenform oder sofort die  Koordinatenform. Was soll da das Prinzip vom Gauß-Verfahren?

Comments

Was soll da das Prinzip vom Gauß-Verfahren?

Es soll die Bestimmung einer Koordinatengleichung ohne die Kenntnis vom Vektorprodukt ermöglichen.

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Na, das ist doch mal was Konkretes (gar nicht kryptisch, wie sonst).

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Auf das Lob hin verrate ich dir noch, dass du GL mangelnde Recherche (Zeitstempel vergleichen !) vorwerfen kannst, in Verbindung mit der Aufforderung, den Plagiatsvorwurf mit dem Ausdruck des Bedauerns zurückzunehmen : Der dortige Fragesteller hat bei dir abgeschrieben.

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Danke erstmal für die Antwort,

Ich weiß nicht ob es genau dem Gauß Verfahren entspricht, es schaut für mich auf den ersten Blick so aus. Was ich damit meine ist, dass ich die einzelnen Gleichungen so miteinander addieren/subtrahieren muss, dass r und s eliminiert werden. Und dabei habe ich starke Schwierigkeiten

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@Hj,

im Übrigen habe ich niemals Roland Plagiatsbestrebungen vorgeworfen.

ich fand es nur komisch, das es der gleiche Text war.

Ich ziehe diesbezüglich meine Bemerkungen zurück. Es tut mir Leid.

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Habe ich etwas verpasst?

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nein, es ging nicht um Dich

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a) Du möchtest r und s eliminieren aus

                 (1) x=-2+r+2s

y=4-2r oder (2) y/2= 2-r

z=4-4s oder (3) z/2=2-2s

(1)+(2)+(3) x+y/2+z/2=2 oder 2x+y+z=4

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir schauen uns a) detailliert an, dann kannst du b) nach demselben Prinzip alleine lösen.

$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\4\\4\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\0\\-4\end{pmatrix}$$Für jede Koordinate haben wir eine Gleichung, gibt insgesamt 3 Gleichungen:$$\begin{array}{rcrrr}x_1 &=&-2&+r&+2s\\x_2&=&4&-2r\\x_3&=&4&&-4s\end{array}$$Die zweite Gleichung möchte offensichtlich unbedingt nach \(r\) umgestellt werden$$x_2=4-2r\implies2r=4-x_2\implies r=2-\frac{x_2}{2}$$und die dritte Gleichung schreit danach, nach \(s\) umgestellt zu werden$$x_3=4-4s\implies 4s=4-x_3\implies s=1-\frac{x_3}{4}$$

Diese beiden Umformungen setzen wir nun in die erste Koordinaten-Gleichung ein:$$x_1=-2+\left(2-\frac{x_2}{2}\right)+2\left(1-\frac{x_3}{4}\right)$$$$x_1=-\frac{x_2}{2}+2-\frac{x_3}{2}$$$$x_1+\frac{x_2}{2}+\frac{x_3}{2}=2$$$$2x_1+x_3+x_3=4$$

Versuch die b) mal alleine. Falls du nicht weiter kommst, bitte hier nochmal nachfragen ;)

Zur Kontrolle: \(x_1-x_2+x_3=2\).