Unabhängigkeit der Repräsentanten in den Äquivalenzklassen und deren Verknüpfungen

Question

Aufgabe:

Es sei die Äquivalenzrelation (a₁,b₁ ) ~ (a₂,b₂ ) definiert durch a₁ * b₂ = a₂ * b₁

Nachgewiesen werden soll, dass auf der Menge der Äquvalenzklassen (ℤ x ℕ)/~ die Verknüpfungen + und * eindeutig bestimmt sind. Dabei werden die Verknüpfungen wie folgt definiert:

[(a₁ , b₁ )] + [(a₂ , b₂ )] = [(a₁b₂+a₂b₁, b₁b₂)] und [(a₁ , b₁ )] * [(a₂ , b₂ )] = [(a₁a₂, b₁b₂)]

Ich weiß nicht so recht, wie ich beweisen soll, dass diese Gleichungen auch für andere Repräsentanten gelten und dass die Gleichungen dann identisch sind, also dass die Gleichungen unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind.

Ich bin über jede Hilfe dankbar.

Comments

Nimm \( (a_1,b_1) \sim (u_1,v_1) \) d.h. \( a_1 v_1 = u_1 b_1 \) und \( (a_2,b_2) \sim (u_2,v_2) \) d.h. \( a_2 v_2= u_2 b_2 \).

Jetzt berechne mal \( [(a_1,b_1)] + [(a_2,b_2)] = [(x_1,y_1)]\) einfach die Definition einsetzen. Was ist \( x_1 \) was \( y_1 \)?

Dann berechnest du \( [(u_1,v_1)] + [(u_2,v_2)] = [(x_2,y_2)]\) indem du das auch einfach in die Definition einsetzt. Was ist \( x_2 \) was \( y_2 \)?

Du willst dann zeigen, dass \( [(a_1,b_1)] + [(a_2,b_2)]  = [(u_1,v_1)] + [(u_2,v_2)] \), denn dann hast du bei den Summanden einen anderen Repräsentant gewählt aber gezeigt, dass sich das Ergebnis nicht ändert.

Dafür ist also zz. dass \( [(x_1,y_1)] = [(x_2,y_2)]\) bzw. \( (x_1,y_1) \sim (x_2,y_2) \) und das ist genau dann der Fall wenn \( x_1 y_2 = x_2 y_1 \). Diese Gleichheit musst du dann noch überprüfen.

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Und wie zeige ich dann die Gleichheit am besten? Ich komme da gerade auf keinen Weg

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Wenn du dir \( x_1 y_2 \) mal hinschreibst und dann gemäß den beiden Gleichungen aus der ersten Zeile bestimmte Terme ersetzt, steht es eigentlich schon da.

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Also mit den Gleichungen \( a_1 v_1 = u_1 b_1 \) und \( a_2 v_2= u_2 b_2 \) die Gleichheit von \( x_1 y_2 = x_2 y_1 \) zeigen?

Dann kann man ja das eine durch das andere ersetzen und man zeigt die Gleichheit, oder?

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Ja, genau.                                .

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Ok, dann habe ich es verstanden.

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo

wenn du dir unter a1,b1 den Bruch a1/b1 vorstellst benutze einfach alles was du über Brüche weisst, (erweiterte Brüche sind äquivalent)

Gruß lul