Grenzwert im unendlichen gesucht

Question

Ich soll den Grenzwert dieser Funktion bestimmen.

\( \lim\limits_{x\to\infty} \sqrt{2 x+3}-\sqrt{2 x} \)

Ich habe mit dem konjugierten erweitert und soweit vereinfacht.

Kommt am ende dann auf \( \frac{3}{0} \)

Durch 0 darf ich aber nicht teilen. Heißt das, dass es keinen wert im unendlichen gibt?

Answer 1

Hallo :-)

Au Weia, was hast du gerechnet, um auf diesen Ausdruck zu kommen? Aber ja, der Ansatz mit der dritten Binomischen Formel ist ein passender Ansatz:

\(\sqrt{2 x+3}-\sqrt{2 x}=\frac{(\sqrt{2 x+3}-\sqrt{2 x})(\sqrt{2 x+3}+\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x+3}+\sqrt{2 x}}=\frac{2x+3-2x}{\sqrt{2 x+3}+\sqrt{2 x}}=\frac{3}{\sqrt{2 x+3}+\sqrt{2 x}} \)

Und daraus sieht man ja, das gilt:

\(\lim\limits_{x\to\infty} \sqrt{2 x+3}-\sqrt{2 x}=\lim\limits_{x\to\infty} \frac{3}{\sqrt{2 x+3}+\sqrt{2 x}}=0\).