Zeigen Sie, dass (G × H, ·) eine Gruppe ist.

Question

Aufgabe:

Seien (G, ◦) und (H, ∗) Gruppen. Wir definieren auf G × H die Verknüpfung

· : (G × H) × (G × H) → G × H,

((g₁, h₁),(g₂, h₂)) → (g₁ ◦ g₂, h₁ ∗ h₂).

Zeigen Sie, dass (G × H, ·) eine Gruppe ist.

Problem/Ansatz:

Kleine Frage und zwar:

Wenn ich die Assoziativität nachweisen will, muss ich dann ((g₁, h₁),(g₂, h₂)), ((g₃, h₃),(g₄, h₄)), ((g₅, h₅),(g₆, h₆)) ∈ (G × H) × (G × H) nehmen oder (g₁, h₁), (g₂, h₂), (g₃, h₃) ∈ G x H nehmen?

Comments

Edit: Habe nochmal drüber nachgedacht und ich glaube zweiteres. Ich weiß nur nicht genau, wie man das aufschreibt.

Ist das okay?

((g1, h1) · (g2, h2)) · (g3, h3) = (g1, h1) · ((g2, h2) · (g3, h3))

oder schriebt man das so?

(((g1, h1), (g2, h2)), (g3, h3)) = ((g1, h1), ((g2, h2), (g3, h3)))

Aber wo kommt dann der "·" vor? Ich bin verwirrt :D

Answer 1

((g1, h1) · (g2, h2)) · (g3, h3) = (g1, h1) · ((g2, h2) · (g3, h3)) ist richtig.

und dann wende die Def. an, Könnte so beginnen:

((g1, h1) · (g2, h2)) · (g3, h3)

=  (g1 ◦ g2, h1 ∗ h2)  · (g3, h3)

=  ((g1 ◦ g2)◦g3, (h1 ∗ h2) ∗ h3)

Dann Assoziativität von G und H anwenden ...