Gilt diese Aussage überhaupt?

Question

Aufgabe:

Ist K ein Körper, W ein endlich-dimensionaler K-Vektorrr und sind w1, w2, w3, w4 ∈ W ,
so ist w1 ∧ (w1 + w2) ∧ (w1 + w2 + w3) ∧ (w1 + w2 + w3 + w4) = w4 ∧ w3 ∧ w2 ∧ w1.

Gilt diese Aussage überhaupt?

Comments

Was ist die Verknüpfung ∧?

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Konjunktion    A und B      A ∧ B

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Wie ist die Konjunktion auf Elementen eines Vektorraumes bei dir definiert?

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Tut mir Leid. Es handelte sich um Dachprodukte bzw. V Algebren.

Answer 1

Ja, dafür einfach die Multilinearität des Wedge-Produkts verwenden(Folgt aus der Definition) und dass v ∧ v = 0.⁶

a ∧ (a+b) ∧ (a+b+c) ∧ (a+b+c+d) = (a ∧ a ∧ (a+b+c) ∧ (a+b+c+d)) + (a ∧ b ∧ (a+b+c) ∧ (a+b+c+d)) = a ∧ b ∧ (a+b+c) ∧ (a+b+c+d) = ... =  a ∧ b ∧ c ∧ d

Und dann einfach nutzen, dass eine Permutation von dem Produkt gleich dem Produkt in "richtiger" Reihenfolge mal dem Signum ist.