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Sei \( V \) ein \( K \) -Vektorraum. Für \( F, G \in \operatorname{End}(V) \) ist der Kommutator \( [F, G] \) definiert als
$$ [F, G]=F G-G F \in \operatorname{End}(V) . $$
Zeigen Sie: Für \( F, G, H \in \operatorname{End}(V) \) gilt
$$ \begin{aligned} [F+G, H] &=[F, H]+[G, H] \\ [F, G] &=-[G, F] \\ [F G, H] &=F[G, H]+[F, H] G \\ [F, G H] &=[F, G] H+G[F, H] \\ 0 &=[F,[G, H]]+[G,[H, F]]+[H,[F, G]] . \end{aligned} $$
Wie zeige ich das? Hilfe wäre super lieb :)
