Hallo,
könnte mir jemand sagen, wie ich folgenden Beweis richtig schreibe? Bzw. ob das richtig ist, was ich hier fabriziert habe? ^^
Die Aufgabe: Zeige, dass folgende Abbildung linear ist.
$$L_1: R³ -> R²; (x,y,z) -> (x + y, z) $$
Meine Lösung:
1) Geschaut ob der Nullvektor abgebildet wird:
$$\begin{pmatrix} 0 + 0\\ 0 \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}$$
2) Geschaut ob die Addition erfüllt ist:
Hier bin ich mir irgendwie nicht sicher, ob ich das richtig aufschreibe... Ich habe die Gleichung quasi in links und rechts unterteilt und dann jeden Teil umgeformt. Die Gleichung die ja gelten muss sieht ja so aus:
L(v + w) = L(v) + L(w)
Für die linke Seite also:
$$L\begin{pmatrix} (x1 + y1) + (x2 + y2) \\ z1 + z2 \end{pmatrix}$$
$$L\begin{pmatrix} (x1 + x2) + (y1 + y2) \\ z1 + z2 \end{pmatrix}$$
Für die rechte Seite:
$$L\begin{pmatrix} x1 + y1 \\ z1 \end{pmatrix} + L\begin{pmatrix} x2 + y2 \\ z2\end{pmatrix}$$
$$L\begin{pmatrix} (x1 + x2) + (y1 + y2) \\ z1 + z2 \end{pmatrix}$$
Beide Seiten gleich, passt.
3) Dann noch die Skalarmultiplikation
Es muss gelten: L(λv) = λL(v)
Hier hab ichs wieder Seitenweise aufgeteilt und dann umgestellt.
Für die linke Seite:
$$L(\begin{pmatrix}λ(x+y) \\ λz \end{pmatrix}$$
$$L(\begin{pmatrix}λx +λy ) \\ λz \end{pmatrix}$$
Für die rechte Seite:
$$λL\begin{pmatrix} x+y \\ z \end{pmatrix}$$
$$L(\begin{pmatrix}λx +λy ) \\ λz \end{pmatrix}$$
Die Frage mag doof rüberkommen, aber nach dem Sichten von diversen Schreibweisen - die sich alle irgendwie in der Form unterscheiden - bin ich einfach nur noch verwirrt..
Vorausgesetzt das fachliche stimmt überhaupt: Kann man das Ganze also auch so aufschreiben?
