Anfangswertproblem: (x+1)y' + (x+2)y = 2xe^−x , y(1)=2,

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme und geben Sie die zugehörigen maximalen Definitionsbereiche an:
a) \( (x+1) y^{\prime}+(x+2) y=2 x e^{-x}, \quad y(1)=2 \),

Problem/Ansatz:

bei a) würde ich jetzt nach y' umstellen, also zunächst durch (x+1) teilen. Nur ich verstehe leider nicht die weitere Vorgehensweise in den Beispielen im Netz wirken die Aufgaben für mich leichter und besser verständlich. Und dann noch den Definitionsbereich zu bestimmen ist für mich grade nur noch komplizierter.

Answer 1

Hallo,

Lösung durch Variation der Konstanten

also zunächst durch (x+1) teilen , kannst Du machen :

(x+1)y' +y(x+2)=2xe^(-x)

y' +y(x+2)/(x+1)=2xe^(-x) /(x+1)

1.) homogene DGL berechnen:

y' +y(x+2)/(x+1) =0->via Trennung der Variablen

2.) \( yh(x)=\frac{c_{1} e^{-x}}{x+1} \)

3.)Setze C₁=C(x)

yp= \( \frac{C(x) e^{-x}}{x+1} \)

4.) yp'= C'(x)  *(e^(-x))/(x+1) -C(x) (e^(-x) (x+2))/(x+1)^2

yp und yp' in die DGL einsetzen

y' +y(x+2)/(x+1)=2xe^(-x) /(x+1)

nach Einsetzen und Vereinfachen ergiebt sich:

C'(x) =2x

C(x)=x^2

5)C(x) muß sich wegkürzen lassen -->C(x)=x^2

6)  yp= x^2 * (e^(-x))/(x+1)

7) y= yh+yp

8) AWB in die Lösung einsetzen

Lösung:

\( y(x)=\frac{c_{1} e^{-x}}{x+1}+\frac{e^{-x} x^{2}}{x+1} \)

mit AWB: y(1)=2

\( y(x)=\frac{e^{-x}\left(x^{2}-1+4 e\right)}{x+1} \)

9) Definitionsbereich aus der Lösung bestimmen

\( \{x \in \mathbb{R}, x \neq-1\} \)

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Comments

Was genau passiert in 1-3) ?

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siehe oben

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Definitionsbereich ist (-1,\( \infty\) ) wegen \( x_0\)=1