Bestimmen Sie y_{3} und y_{4} .

Question

d) Geben Sie die reellen Koeffizienten \( p \) und \( q \) derjenigen Differenzialgleichung \( y^{\prime \prime}(x)+p y^{\prime}(x)+q y(x)=0 \) an, deren allgemeine Lösung \( y_{h}(x)=c_{1} e^{4 x}+c_{2} e^{3 x} \) ist.

$$ p=-7, q=12 $$
e) Gegeben sei die Differenzengleichung \( y_{k+2}-y_{k+1}-2 y_{k}=0 \) mit \( y_{1}=2 \) und \( y_{2}=4, k \in \mathbb{N} \). Bestimmen Sie \( y_{3} \) und \( y_{4} \).
$$ y_{3}=\quad, y_{4}= $$

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

könnte mir jemand erklären wie ich auf den aufgabenteil d und e komme ?

vielen lieben dank im voraus.

euer abc

Answer 1

Hallo,

d)

-Leite y 2 Mal ab

y'= 4C₁ e^(4x) +3C₂ e^(3x)

y''= 16 C₁ e^(4x) + 9 C₂ e^(3x)

-Setze y, y' und y'' in die DGL ein

-Führe einen Koeffizientenvergleich durch:

nach C₁e^(4x) und C₂ e^(3x)

1) 16 +4p+q=0

2) 9+3p+q=0

p=-7

q=12

---------------------------------------

e)

\( y_{k+2}-y_{k+1}-2 y_{k}=0 \) mit \( y_{1}=2 \) und \( y_{2}=4, k \in \mathbb{N} \). Bestimmen Sie \( y_{3} \) und \( y_{4} \)

Ansatz yn =λ^n

------>λ^2 -λ -2=0

λ₁= 2

λ₂= -1

-->

y=C1 2^n +C2 (-1)^n

Einsetzen von y1 und y2:

2 =C1 2^1 +C2 (-1)^1

4 =C1 2^2 +C2 (-1)^2

----------------------------

2=2C1 -C2

4=4C1 +C2

---------------

6=6C1 ->C1=1 ;C2=0

y=C1 2^n +C2 (-1)^n ;C2=0

y=C1 2^n

y3= 1*2^3=8

y4=1*2^4=16

->y3=8

y4=16

Answer 2

Hallo

c) die Differentialgleichung löst du allgemein mit dem Ansatz y=e^λx,  gibt eine quadratische Gleichung für λ die beiden Werte setzt du =4 bzw. 3 und bestimmst daraus p und q

d) einfach für y3 :  y1 und y2 in die Gleichung einsetzen, dann y4  mit  Einsetzen von y2 und y3  bestimmen.

Gruß lul