Ich mache es mal für den dritten Einheitsvektor \(e_3\) sehr ausführlich. Vielleicht werden deine Fragen damit beantwortet.
Nach Aufgabenstellung haben wir die Basis
\(v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \ v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
gegeben. Wir wollen nun wissen, welchen Vektor wir durch den Vektor
\(e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
austauschen können, sodass dann \(e_3\) mit den übrigen zwei Vektoren wieder eine Basis ist. Eine schnelle Methode liefert und dabei das oben genannte Austauschlemma. Der erste Schritt ist es, den Vektor \(e_3\) als Linearkombination durch unserer Basis \((v_1, v_2, v_3)\) darzustellen. Wir müssen also \(a_1, a_2, a_3\) bestimmen, sodass
\(e_3 = a_1v_1 + a_2v_2 + a_3v_3\)
gilt. Ausgeschrieben:
\( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = a_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + a_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + a_3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
bzw.
\( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ 0 \\ a_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 \\ a_2 \\ a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_3 \\ a_3 \\ 0 \end{pmatrix}\)
oder Zeilenweise
\(0 = a_1 + a_2 + a_3\)
\(0 = a_2 + a_3\)
\(1 = a_1 + a_2\).
Wir haben drei Gleichungen und drei Variablen - dieses Gleichungssystem ist also eindeutig lösbar. Die Lösung ist \(a_1 = 0, \ a_2 = 1\) und \(a_3 = -1\), denn die Probe liefert
\(0 = 0 + 1 - 1 \)
\(0 = 1 - 1 \)
\(1 = 0 + 1\).
Das heißt, wir können den dritten Einheitsvektor als Linearkombination unserer Basis schreiben als
\(e_3 = 0 \cdot v_1 + 1 \cdot v_2 + (-1) \cdot v_3 = v_2 - v_3\).
Nun können wir das Austauschlemma in seiner vollen Pracht verwenden. Es besagt nun, dass wir den Vektor \(e_3\) durch einen Vektor in unserer Basis austauschen können, dessen Koeffizient \(a_i\) ungleich Null ist, sodass \(e_3\) mit den übrigen zwei Vektoren wieder eine Basis ist.
Hier haben wir \(a_2 = 1 \neq 0\), was bedeutet, dass wir \(e_3\) mit dem zweiten Vektor unserer Basis austauschen können
\((v_1, e_3, v_3)\)
und diese Kombination ist weiterhin eine Basis.
Ebenso haben wir \(a_3 = -1 \neq 0\), sodass wir \(e_3\) mit dem dritten Vektor austauschen können
\((v_1, v_2, e_3)\)
und auch diese Kombination ist nach dem Austauschlemma wieder eine Basis.
Den ersten Vektor können wir nicht durch \(e_3\) austauschen, weil \(a_1 = 0\) ist. Das heißt, \((e_3, v_2, v_3)\) ist dann keine Basis mehr.
Zusammengefasst: Wir können den Vektor
- \(v_2\) durch \(e_3\) ersetzen und \((v_1, e_3, v_3)\) ist wieder eine Basis.
- \(v_3\) durch \(e_3\) ersetzen und \((v_1, v_2, e_3)\) ist wieder eine Basis.
In der Aufgabe war gefordert, alle Paare \((i,j)\) mit \(i,j \in \{1,2,3\}\) zu bestimmen, sodass man nach dem Austausch von \(v_i\) durch \(e_j\) wieder eine Basis für den gegebenen Vektorraum erhält.
Speziell auf den \(e_3\) Vektor bezogen lautet die Aufgabe, alle Vektoren \(v_i\) zu nennen, die man durch den Vektor \(e_3\) ersetzten kann, sodass wir eine Basis erhalten.
Wir wissen, dass wir den Vektor \(v_2\) durch \(e_3\) ersetzen können. Das dazugehörige Paar lautet: \((2,3)\). Die \(2\) steht für den zweiten Vektor und die \(3\) für den dritten Einheitsvektor. Das Paar \((2,3)\) sagt uns also, dass wir in der Basis \((v_1, v_2, v_3) \) den zweiten Vektor durch den dritten Einheitsvektor austauschen können, sodass es weiterhin eine Basis ist.
Weiter wissen wir, dass wir \(v_3\) durch \(e_3\) ersetzen können. Das entsprechende Paar ist dann \((3,3)\).
Betrachten wir nochmal ein anderes Paar:
Das Paar \((2,1)\) sagt uns, dass wir den zweiten Vektor \((v_2)\) in der Basis \((v_1,v_2,v_3)\)durch den ersten Einheitsvektor \((e_1)\) austauschen können, sodass \((v_1, e_1, v_3)\) wieder eine Basis ist.
