Warum f^-1(f(S))=S => injektiv?

Question

Aufgabe

f: X->Y

f^-1(f(S))=S für S Teilmenge von X, zeigen Sie, dass eine Abbildung Injektiv ist, die die obige Bedingung erfüllt.

Hieraus soll angeblich Injektivität folgen aber wieso?

Gegenbeispiel: X (1,2,3,4) Y (5,6,7,8) S (1,2) f(S) (5)

Im Gegenbeispiel werden 1 auf 5 und 2 auf 5 abgebildet. Somit wäre das Urbild von f(S)=S (wonach ja verlangt wird). Aber die Funktion ist surjektiv und nicht injektiv.

Genaugenommen ist die obige Gleichung ja auch trivial, weil das Urbild von f(S) mit S Teilmenge von X ja sowieso IMMER S sein muss oder nicht?

 Übersehe ich etwas?

Answer 1

Ich glaube, du hast die Behauptung falsch wiedergegeben.

Es ist wohl eher so zu verstehen:

Wenn \(f^{-1}(f(S))=S\) für JEDE Teilmenge \(S\) von \(X\) gilt, dann

ist \(f\) injektiv.

Da dies dann insbesondere für die einelementigen Mengen \(S\) gilt,

kann man auf die Injektivität schließen.

Comments

Ja, aber was ändert das? Dass das Urbild von f(S) gleich S ist, ist ja eine triviale Aussage und trifft doch sowieso immer zu, ob nun für eine Teilmenge oder alle Teilmengen oder nicht? Und beim obigen Beispiel ist die Gleichung ja auch gegeben, nur dass die Injektivität verletzt wird.

---

Das Urbild kann doch größer sein. Beispiel \(f:\{-1,1\}\rightarrow \{1\}\)

mit \(f(1)=f(-1)=1\) und \(S=\{1\}\).

---

Aber f(S)⊆Y wird ja gebildet von allen "Pfeilen" die von S⊆X ausgehen oder nicht? Ist es dann nicht nur logisch, dass das Urbild(f^-1(f(S)), dass diese Pfeile ja quasi "zurückverfolgt" immer auch automatisch S ist? Oder habe ich da was fundamental falsch verstanden? Und bei deinem Beispiel ist das Urbild ja S=1. Und die f(S) bzw. Y ist in deinem Beispiel auch 1.

---

Ah ok! Danke für dein überarbeitetes Beispiel! Du hast recht! Wenn beide Mengen ungleich groß sind ist es nicht trivial! Dankeschön! :)

---

Nein, das Urbild ist \(\{-1,1\}\).

Ah! Du hast es selbst gemerkt :-)

---

Verstehe das jetzt in seiner Gänze. Damit macht auch die Bedingung ALLE Teilmengen S von X sinn! Danke Ermanus! :)

---

Gern geschehen ! Schönes "Restwochenende" :-)