Gleichung der Profilkurve bestimmen

Question

Aufgabe:

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Tiefpunkt (-1/0), Wendepunkt (-2/2) und dem Punkt (0/4)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Tiefpunkt (-1|0), Wendepunkt (-2|2) und dem Punkt P(0|4)

Tiefpunkt T(-1|0) bedeutet doppelte Nullstelle:

f(x)=a*(x+1)^2(x-N)

W(-2|2)

f(-2)=a*(-2+1)^2*(-2-N)=a*(-2-N)

1.) a*(-2-N)=2

P(0|4)

f(0)=a*(0+1)^2*(0-N)=-a*N

2.)-a*N=4

a=1  und N=-4

f(x)=(x+1)^2(x+4)

Answer 2

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades

f ( x ) = a *x^3 + b*x^2 + c*x + d
f ´( x ) = 3a x^2 + 2b x + c
f ´´ ( x ) = 6ax +2b

mit dem Tiefpunkt (-1/0),
f ( -1 ) = 0
f ´( -1 ) = 0
Wendepunkt (-2/2)
f ( -2 ) = 2
f ´´ (-2) = 0
und dem Punkt (0/4)
f ( 0 ) = 4

Kurznotation
f ( -1 ) = 0
f ´( -1 ) = 0
f ( -2 ) = 2
f ´´ (-2) = 0
f ( 0 ) = 4

-----------------------------------------------

f ( -1 ) = a *(-1)^3 + b*(-1)^2 + c*(-1) + d = 0
f ( -2 ) = a *(-2)^3 + b*(-2)^2 + c*(-2) + d = 2
f ( 0 ) = a *(0)^3 + b*(0)^2 + c*(0) + d = 4
d = 4

f ´( -1 ) = 3a (-1)^2 + 2b(-1) + c = 0
f ´´ ( -2 ) = 6a(-2) +2b = 0

--------------------------------------------------

a *(-1)^3 + b*(-1)^2 + c*(-1) + 4 = 0
a *(-2)^3 + b*(-2)^2 + c*(-2) + 4 = 2
3a (-1)^2 + 2b(-1) + c = 0
6a(-2) +2b = 0

-------------------------------------------------

-a + b - c + 4 = 0
-8a + 4b - 2c + 4 = 2
3a - 2b + c = 0
-12a +2b = 0

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Bitte alles überprüfen.
Das Gleichungssystem erscheint mir überbestimmt.
Es ist schon spät. Gute Nacht.

Answer 3

Das ist eine Steckbriefaufgabe.

ganzrationale Funktion dritten Grades

y = ax³ + bx² + cx + d

Tiefpunkt (-1/0)

a*(-1)³ + b*(-1)² + c*(-1) + d = 0

erste Ableitung 3a*(-1)² + 2b*(-1) + c = 0

Wendepunkt (-2/2)

a*(-2)³ + b*(-2)² + c*(-2) + d= 2

zweite Ableitung 6a*(-2) + 2b = 0

und dem Punkt (0/4)

a*(0)³ + b*(0)² + c*(0) + d = 4

Löse das Gleichungssystem.

Die Lösung ist a = 1, b = 6, c = 9, d = 4

Die Funktion lautet y = x³ + 6x² + 9x + 4