Vollständige Induktion und induktiv definierte Menge

Question

Aufgabe:

A1) Definiere die Menge der geraden und durch 3 teilbaren natürlichen Zahlen induktiv.
A 2) Zeige mittels vollständiger Induktion, dass für alle \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geq 6 \) gilt:
\( n \cdot n<2^{n} \)

Problem/Ansatz:

Wie würde die Menge zu A1 aussehen?

Bei A2 ist der IA, die IV klar, jedoch weiß ich nicht wie ich den Is mit n+1 machen soll?

Comments

\((n+1)^2=n^2+2n+1<2^{n} +2n+1 <2^n+2^n=  2\cdot 2^n= 2^{n+1} \)

Nun muss noch gezeigt werden, dass 2n+1<2^n ist für n≥6.

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Wäre es nicht einfacher zu zeigen:

$$2n+1<n^2$$

Für geeignete n

Gruß Mathhilf

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Wäre es nicht einfacher zu zeigen: ...

Da hast du wohl recht.

:-)

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"Nun muss noch gezeigt werden, dass 2n+1<2^n ist für n≥6."

Und wie kann ich das zeigen? Genau an dieser Stelle hatte ich das Problem.

Warum darf man "2n+1<n^2" zeigen?

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Noch einfacher: \(2^{n+1}=2\cdot2^n>2n^2-(n-3)\cdot(n+1)-2=(n+1)^2\).

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\((n+1)^2\\=n^2+2n+1=\\n^2+n(2+\frac1n)\\<n^2+n^2~~~~~| \text{für } n>2 \\<2^n+2^n\\= 2\cdot 2^n\\= 2^{n+1} \)

Answer 1

Die Menge \(M\)  in \(A_1\) würde ich so definieren:

1. \(6\in M\)
2. \(x\in M\Rightarrow x+6\in M\)