Wie bilde ich die Ableitung richtig?! f(t)=0,3+35(1-e^-0,02t)^2

Question

wir müssen Ableitungen bilden von der Funktion f(t)=0,3+35(1-e^-0,02t)^2

ich weiß, dass die Kettenregel und die Produktregel verwendet wird, aber wie das zusammenschmilzt bleibt mir auf der Strecke.

Versuch1 :  u(v)=35v^2            u'(v)=70v

                     v(x)= 1-e^-0,02t    v '(x)=-0,02e^-0,02t

u(v)=0,3v^2            u'(v)=0,6v

                    v(x)=1-e^-0,02t      v'(x)=-0,02e^-0,02t

Und jetzt?! Hilf3*

Answer 1

Dein Versuch 1 sieht doch schon recht gut aus.

v ist allerdings von t abhängig, nicht von x.

Bei Ableitung von v(t) hast du außerdem ein Minus vergessen.

Sie lautet: v '(t)= +0,02e^-0,02t.

Jetzt musst du nur noch die Ableitung nach der Kettenregel  zusammen bauen.

Also beide Teile als Produkt schreiben.

f ' ( t) = 70v * v ' (t)

          = 70 * (1-e^-0,02t) * (0,02e^-0,02t).

DIe 0,3 fällt beim Ableiten einfach weg.

Comments

Hi, danke für deine Antwort. Habe hier das Kontrollergebnis f'(t)=1,4(e^-0,02t-e^0,04t)

aber kann irgendwie nicht nachvollziehen wie wir darauf kommen?! Weißt du was?!


OK 70* 0,02= 1,4, aber welche Regel muss ich bei der weiteren Auflösung beachten?!

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f ' (t) = 70 * (1-e^-0,02t) * (0,02e^-0,02t) = 1,4 * e^-0,02t * (1-e^-0,02t)

         = 1,4 * (e^-0,02t - e^-0,02t * e^-0,02t) = 1,4 * (e^-0,02t - e^-0,02t-0,02t)

         = 1,4 * (e^-0,02t - e^-0,04t)

Darauf komme ich. Wie das Minus im Exponenten vor 0,04 wegfallen könnte, weiß ich nicht. Steht es vielleicht nicht doch da?

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Danke danke danke. natürlich steht das Minus noch da ;) mist vergessen.

Ok nächste Frage :)

Warum wird das rot gekennzeichnete Doppelt genommen?! = 1,4 * (e^-0,02t - e^-0,02t * e^-0,02t) = 1,4 * (e-0,02t - e-0,02t-0,02t)

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Das ist das Ausmultiplizieren der Klammer. Vor der Klammer steht e^-0,02t . In der Klammer 1-e^-0,02t.

Laut Distributivgesetz ist a*(b+c) = a*b + a*c.

In unserem Fall könnte man schreiben: a*(b+a) = a*b + a*a

Also:

e^-0,02t * 1 - e^-0,02t * e^-0,02t

Die Eins kann man natürlich weglassen, also steht dann da:

e^-0,02t - e^-0,02t * e^-0,02t = e^-0,02t - e^-0,04t

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Ok ich muss jetzt nerven, sorry, aber danke für deine Geduld.

Warum rechne ich die 70* 0,02 und nicht 70* 1? Welches Gesetz bestimmt das ich die 0,02 nehme?

Oder kommt bei beiden dasselbe raus?

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Du nervst nicht.

Die 70, die 0,02, e^-0,02t und die Klammer (1-e^-0,02t) sind 4 Faktoren in einem Produkt.

Du darfst nach Assoziativgesetz der Multiplikation, welches lautet: a*(b*c) = (a*b)*c, und Kommutativgesetz der Multiplikation, welches lautet a*b = b*a,  Faktoren beliebig miteinander vertauschen und zusammenrechnen.

Genau genommen wurde oben gerechnet:

70*0,02*e^-0,02t*(1-e^-0,02t)

Die ersten beiden und die letzten beiden Faktoren wurden jeweils zusammengezogen.

Answer 2

Hier mal eine Alternative:

 f(t)=0,3+35(1-e^-0,02t)²       |Binom auflösen

 f(t)=0,3+35(1-2e^-0,02t + e^-0.04t)       Distributivgesetz

 f(t)=0,3+35-70e^-0,02t + 35e^-0.04t       |ableiten

f ' (t) = 0+0 + 70*0.02e^-0.02t - 35*0.04e^-0.04t

= 1.4e^{-0.02t} -1.4e^{-0.04t}

Falls du an deinen Resultaten zweifelst, nur weil die Musterlösung eine andere Darstellung hat, benutze auch: https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28t%29%3D0.3%2B35%281-e%5E%28-0.02t%29%29%5E2

Comments

Ich bin begeistert, wieso könnt ihr das alle aus dem FF?!



Jetzt verzweifle ich an der 2.Ableitung?

Mein Versuch:   u(v)=1,4v    u'(v)=1,4    v(t)=e^-0,02t -e^-0,04   v'(t)=-0,02e^-0,02t+0,04e^-0,04t

f''(t)= 1,4(e^0,02t-e^-0,04t)*(-0,02e^-0,02t+0,04e^-0,04t)

Das sind Ungetüme für mich wenn man die Regeln nicht kennt.... :(

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Tipp: Leite einfach mein Resultat ab ;)

f ' (t) = 1.4e^-0.02t -1.4e^-0.04t   

f '' (t) = -1.4*0.02 e^{-0.02t} + 1.4*0.04*e^{-0.04t}

= -0.028 e^{-0.02t} + 0.056 e^{-0.04t}

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Danke liebe Lu, aber

wie komme ich zu f"(t)=0,028(2e^-0,04t-e^-0,02t). Das steht als Kontrolle auf dem Zettel.

Dein Ergebnis teilen und dann ausklammern?>

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Dein Ergebnis teilen und dann ausklammern?>

Ja oder das Kontrollergebnis ausmultiplizieren (Distributivgesetz)

https://www.matheretter.de/wiki/distributivgesetz

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Sag mal könntest du das zu meinem Verständnis ausführlich aufschreiben? Das wäre lieb!e