Geben Sie eine Basis von Im(f) an. Berechnen Sie Rang(f). usw

Question

Sei R3 mit seiner kanonischen Basis B = (v1, v2, v3) wobei 

v₁=( 1/0/0)  v₂=(0/1/0) und v₃=(0/0/1)

1. Warum gibt es genau eine lineare Abbildung f : R³ → R³ mit f(v₁) = −2v₁, f(v₂) = 2v₂ und f(v₃) = −4v₁ + 4v₃?

2. Geben Sie die Matrix MatB,B(f) von f an.

3. Geben Sie eine Basis von ker(f) an.

4. Ist f injektiv? Ist f surjektiv? Warum?

5. Geben Sie eine Basis von Im(f) an. Berechnen Sie Rang(f).

6. Zeigen Sie, dass R3 = ker(f) ⊕ Im(f).

 

Anmerkung:

3. und 4. dieser Aufgabe ist schon erledigt bei:
https://www.mathelounge.de/8208/kern-und-bild-einer-linearen-abbildung

 

Comments

Danke für die Anmerkung.

Noch offen sind die Punkte 1., 2., 5. Rang, 6.

Answer 1

1. Eine lineare Abbildung ist vollständig definiert durch die Bilder der Basisvektoren einer beliebigen Basis des betrachteten Raumes, das sieht man folgendermaßen:

Sei w ein beliebiger Vektor des Raumes, dann kann man ihn nach der Matrix entwickeln:
 

w = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n

Wendet man nun die Funktion f auf w an, dann gilt (wegen der Linearität von f)

f(w) = f(a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n) = f(a₁v₁) + f(a₂v₂) + ... + f(a_nv_n) = a₁f(v₁) + a₂f(v₂) + ... + a_nf(v_n)

Bereits durch die Bilder der drei Basisvektoren ist die Abbildung also vollständig definiert.

2. Sei v = (x,y,z) dann gilt nach der eben abgeleiteten Formel:
f(v) = -2*x*v₁ + 2*y*v₂ - 4z v₁ +4z v₃ = v₁*(-2x -4z) + v₂*(2y) + v₃*(4z) = (-2x-4z, 2y, 4z)

Die Matrix zu dieser Abbildung lautet also:
       (-2  0 -4)
A = ( 0  2   0)
       ( 0  0   4)

3., 4. sind bereits im Link beantwortet, insbesondere sind dort als

ker (f) = {0}

und

Basis von im (f) = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}

angegeben worden.

5. rang(f) sind die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilen/Spalten der Matrix.

Gleichzeitig gibt es aber für quadratische Matrizen ein hinreichendes Kriterium für maximalen Rang (in diesem Fall also 3):
det A ≠ 0 ⇒ rang(f) = maximal

Da sich die Determinante beim Gaußalgorithmus nur bis auf Faktoren ändert, also insbesondere niemals 0 wird, ist die Determinante unserer Matrix ungleich 0, also ist der Rang maximal:
rang(f) = 3

6. Da bereits im(f) = ℝ³ gilt, ist die Aussage trivial.

Answer 2

1. Warum gibt es genau eine lineare Abbildung f : R³ → R³ mit f(v₁) = −2v₁, f(v₂) = 2v₂und f(v₃) = −4v₁ + 4v₃?

Wir wissen

$$ \left( \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{matrix} \right) $$

Aus der ersten Gleichung folgt

a=-2, d=0, g=0

Aus der zweiten folgt

b=0, e=2, h=0

Aus der dritten folgt

c=-4, f=0, i=4

Damit ist die lineare Abbildung eindeutig bestimmt. Die lineare Abbildungsmatrix lautett:

$$ \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { 0 } & { - 4 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 4 } \end{array} \right) $$