Berechne die Länge der Strecke AB.

Question

Aufgabe:

Von einem Geländepunkt C misst man zu zwei Punkten einer geradlinig verlaufenden Straße die Strecken CA und CB sowie den Winkel Alpha = CAB. Berechne die Länge der Strecke AB. Beachte, dass A, B und C in derselben Ebene liegen

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand erklären wie ich dieses Beispiel berechnen muss? Das Ergebnis soll 3,83km sein. Ich habe es mit dem Cosinussatz versucht, leider falsch.

Comments

Gibt es zu der Aufgabe eine Skizze oder weitere Angaben?

---

Ist Dir klar, dass diverse Angaben fehlen? Man kann doch nicht 3,83 km aus dem Nichts schütteln.

---

dass diverse Angaben fehlen?

Dafür ist "Beachte, dass A, B und C in derselben Ebene liegen"  völlig überflüssig.
Sollte sich das nicht irgendwie ausgleichen ?

---

Das hast Du gut erkannt... sie liegen auch auf einem Kreis.

---

Offensichtlich sind die Strecken CA=b und CB=a und der Winkel α gegeben. AB=c ist gesucht.

Der Cosinussatz mit α lautet:

a^2= b^2+c^2-2bc*cosα

Das ist eine quadratische Gleichung für c. Wenn die gegebenen Werte eingesetzt werden kann sie mit der pq-Formel gelöst werden.

Answer 1

@döschwo

@Gast hj2166

Wie wäre es denn gewesen, wenn ihr den Fragesteller sachdienlich über die Lücken seines Weges aufgeklärt hättet???

"Berchne erst mal mit dem Sinussatz die Größe von β, bevor du dann γ im Kosinussatz anwendest" hätte doch gereicht.

Ich finde eure Klugscheißerei befremdlich.

Comments

Es erschien mir notwendig, mit einfacheren Dingen anzufangen als mit dem Sinus- und Kosinussatz.

Answer 2

Hallo Nita,

mache Dir immer eine Skizze:

Der Cosinussatz, der sich am Winkel \(\angle CAB\) (blau) orientiert, lautet hier:$$|CB|^2 = |AB|^2 + |CA|^2 - 2|AB|\,|CA|\cos(\angle CAB)$$Das Quadrat der Seite (hier \(CB\)), die dem Winkel \(\angle CAB\) gegenüber liegt, steht immer alleine auf der hier linken Seite der Gleichung.

Bis auf \(|AB|\) sind in der Aufgabenstellung alle Größen gegeben. Folglich lässt sich \(|AB|\) berechnen aus:$$|AB|_{1,2} = |CA|\cos(\angle CAB) \pm \sqrt{|CA|^2\cos^2(\angle CAB) + |CB|^2-|CA|^2} \\ \phantom{|AB|_{1,2}}= |CA|\cos(\angle CAB) \pm \sqrt{|CB|^2 - |CA|^2(1-\cos^2(\angle CAB))}\\ \phantom{|AB|_{1,2}}= |CA|\cos(\angle CAB) \pm \sqrt{|CB|^2 - |CA|^2\sin^2(\angle CAB)}$$Wie man sieht, gibt es zwei Lösungen. In diesem Anwendungsfall hat wahrscheinlich eine der beiden Lösungen ein negatives Vorzeichen. Diese kann man dann vernachlässigen.

Falls Du Fragen dazu hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Die Winkel- oder die Dreiecksbezeichnung stimmt übrigens nicht mit der gängigen Konvention überein.

---

Die Winkel- oder die Dreiecksbezeichnung stimmt übrigens nicht mit der gängigen Konvention überein.

Ja sicher \(\angle CAB\) müsste \(\angle BAC\) heißen oder das Dreieck ist nicht rechtsdrehend, aber ich glaube, dass Nita andere Probleme hat ;-)

Dann könnte es natürlich noch sein, dass nicht \(\angle BAC\), sondern \(\angle ACB\) - also der Winkel beim Punkt \(C\) - gemeint ist. Aber das sollte uns Nita selbst verraten.