Injektivität untersuchen Abbildung

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die folgende Abbildung:
f : R≥1 → R2 ≥ 1 mit x → (2x − 1, x2 − 2x + 2).
Hier bei bedeutet R≥1 := {x ∈ R : x ≥ 1}.

Problem/Ansatz:

Ermitteln Sie alle Urbilder von
(7, 10) und untersuchen Sie die Abbildung f auf Injektivität, Surjektivität
bzw. Bijektivität und beweisen Sie jeweils, dass die Eigenschaften gelten,
bzw. nicht gelten.

Answer 1

2x − 1=7   und x^2 − 2x + 2=10

Prüfe, ob es ein x gib, für das beide Gleichung gelten

injektiv ist es, brauchst nur die 1. Komponente zu betrachten,

surjektiv wohl nicht, 2. Komponente kann nie 0 sein .

Comments

Ja, ich habe schon gefunden, dass wenn x=4 ist, 2x − 1 = 7  und x2 − 2x + 2 = 10 gelten diese Gleichungen. Ich weiß nicht, wie ich genau die Injektivität, Surjektivität beweisen kann. Z.B. wenn ich 2x-1 = 2x-1 | 1 === 2x = 2x --------x = x, aber soll ich auch x2 − 2x + 2 irgendwie berechnen. Ich weiß auch nicht, wie genau kann ich das machen. Vielen Dank im Voraus!

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Für injektiv:

Seien x,y ∈R^≥1

und f(x)=f(y) also insbesondere

2x-1 = 2y-1   ==> ... ==>  x=y ,

also f injektiv.

Für surjektiv (sehe gerade, dass auch in der

Zielmenge die Komponenten ≥1 sein müssen.)

Dann versuche mal, ob der Punkt (9;2) erreicht wird,

also ob es ein x gibt mit

2x − 1=9  und x^2 − 2x + 2=2 

<=> x=5   und  (  x=0 oder x=2)

Geht also nicht.

==>  f nicht surj.

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Ach so, vielen Dank. Nun habe ich noch etwas nicht verstanden, warum ist der Punkt 9,2 ausgewählt und wie genau ist das berechnet? Falls du Zeit dafür hast. Vielen, vielen, Dank!

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Ich hab einfach überlegt, ob es einen Punkt gibt, der garantiert nicht erreicht wird. Nach Wahl einer ersten

Komponente ( hier 9) ist ja das x schon festgelegt,

nämlich x=5. Wenn du jetzt die 5 bei der 2. Komp.

einsetzt, gibt es eine Zahl, und statt der musst du

einfach eine andere nehmen.

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Hallo mathef,

Danke für alles. Aber ich kann noch nicht verstehen, warum wir 9 und 2 wählen.

Könntest du mir das bitte erklären?