Unabhängigkeit der Reihenfolge im Urnenmodell

Question

Aufgabe:

In einer Urne befinden sich r rote, s schwarze und g gelbe Kugeln (r, s, g ∈ N). Sie entnehmen
rein zufällig eine Kugel und geben anschließend diese sowie l ∈ N weitere Kugeln dieser Farbe
in die Urne. Dieser Vorgang wird noch 2-mal wiederholt.
Modellieren Sie dieses Zufallsexperiment durch einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum Ω
und begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit P({ω}) für ω ∈ Ω nur von der Anzahl der
gezogenen roten, schwarzen und gelben Kugeln abhängt, nicht jedoch von deren Ziehungszeitpunkten.

Problem/Ansatz:

Wie zeige ich die Unabhängigkeit von der Reihenfolge hier am besten, könnte mir bitte jemand weiterhelfen?

Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

Baumdiagramm mit drei Ebenen, eine für jede Ziehung.

\(\Omega\) ist die Menge aller Pfade.

Comments

Vielen Dank schon mal. Das hilft. Aber ich stehe immer noch etwas auf dem Schlauch wie ich so das l miteinbeziehen könnte?

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Bei der ersten Ziehung ist die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel \(\frac{r}{r+s+g}\)

Wurde bei der ersten Ziehung eine rote Kugel gezogen, dann ist bei der zweiten Ziehung die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel \(\frac{r+l}{r+s+g+l}\), andernfalls ist sie \(\frac{r}{r+s+g+l}\).

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Wofür steht r+l ?

l ist nicht definiert.

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\(r + l\) ist die Anzahl der roten Kugeln in der Urne bei der zweiten Ziehung, falls in der ersten Ziehung eine rote Kugel gezogen wurde.

\(l\) ist definiert durch "sowie l ∈ N weitere Kugeln dieser Farbe".