Aufgabe:
Aufgabe 3.
Finden Sie eine Basis des R4, die die Vektoren v1 = (3,−4,3,3)t und v2 = (1,0,1,4)t
enthält. Beweisen Sie Ihre Behauptung mit Hilfe von Lemma 2.5.14 (im Video ist dies
Lemma 2.5.13), indem Sie die Vektoren v1 und v2 nacheinander in die Standardbasis des
R4 tauschen.
Lemma 2.5.14. Seien V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und sei B = (v1,...,vn)
eine Basis von V , wobei n ∈ N0. Seien v ∈ V , λ1,...,λn ∈ K und i ∈ {1,...,n}.
Angenommen
v = λ1v1 + ···+ λnvn, λi 6= 0.
Dann ist
(v1,...,vi−1,v,vi+1,...,vn)
eine Basis von V .
Beweis. Die Vektoren v1,...,vn,v erzeugen V und sind linear abhängig durch die
Gleichung
λ1v1 + ···+ λivi + ···+ λnvn −v = 0.(2.1)
Da λi nicht 0 ist, folgt
V = 〈v1,...,vn〉K = 〈v1,...,vn,v〉K = 〈v1,...,vi−1,vi+1,...,vn,v〉K
aus Lemma 2.5.7(2).
Zur linearen Unabhängigkeit: Da v1,...,vi−1,vi+1,...,vn linear unabhängig sind
(siehe Lemma 2.5.7(3)), kann eine lineare Abhängigkeit der Vektoren v1,...,vi−1,
vi+1,...,vn,v nur die Form
μ1v1 + ···+ μi−1vi−1 + μi+1vi+1 + ···+ μnvn + μv = 0
haben mit μ1,...,μi−1,μi+1,...,μn,μ ∈ K, μ 6= 0. Addiere dazu das μ-fache der
Gleichung (2.1). Man erhält
(μ1 +μλ1)v1 +···+(μi−1 +μλi−1)+μλivi+(μi+1 +μλi+1)vi+1 +···+(μn+μλn)vn = 0.
44
Aus der linearen Unabhängigkeit von v1,...,vn folgt μλi = 0, ein Widerspruch zu
μ,λi 6= 0. Also ist (v1,...,vi−1,vi+1,...,vn,v) linear unabhängig.
Problem/Ansatz: Kann wer mal einfach vorrechnen bevor ich graue Haare bekomme?
