Wie kann ich ohne Ausprobieren den Grenzwert einer geometrischen Summenfolge berechnen?

Question

Aufgabe:In der Aufgabe geht es um Folgen und Reihen. Dabei ist eine Spirale gegeben, die jeweils aus Halbkreisen besteht, wobei jeder Radius des Folgekreises um den Faktor q kleiner wird. Dadurch entsteht wie schon beschrieben eine Spirale, die auf einen Punkt x in der Mittel der Spirale zuläuft. Dier Mittelpunkt x ist zu ermitteln.Problem/Ansatz:Mein Ansatz dabei war es, die Abstände zwischen jeweils zwei Halbkreisen links vom x aufzuaddieren und somit die ganze Strecke von 0 bis x zu erhalten.Daher habe ich mir folgende Summenformel erstellt:$$ \sum_{n=0}^{unendlich} (\frac{5}{6})^{2n} - (\frac{5}{6})^{2n+1} $$5/6 ist dabei der Faktor x.Ich habe mal Testweise für große n ausgerechnet und kam dabei auf ein Ergebnis von 6/11, was meiner Meinung nach auch richtig ist.Wie kann ich jetzt aber die Summenfolge von oben ohne Taschenrechner berechnen, bzw. ohne einfach große n einzusetzen?Ich brauche also einen anderen Weg dafür, den Grenzwert der beschriebenen Folge zu ermitteln.Dank im Voraus.

Answer 1

\(\begin{aligned} & \sum_{n=0}^{\infty}\left(\left(\frac{5}{6}\right)^{2n}-\left(\frac{5}{6}\right)^{2n+1}\right)\\ =\  & \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{2n}-\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{2n+1}\\ =\  & \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{2n}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{5}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{2n}\\ =\  & \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{2n}-\frac{5}{6}\sum_{n=0}^{\infty}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{2n}\\ =\  & \left(1-\frac{5}{6}\right)\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{2n}\\ =\  & \left(1-\frac{5}{6}\right)\sum_{n=0}^{\infty}\left(\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\right)^{n}\\ =\  & \frac{1}{6}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{25}{36}\right)^{n} \end{aligned}\)

Jetzt die Formel für die geometrische Reihe anwenden.

Comments

Vielen Dank für die Erklärung. Ab da weiß ich auch weiter :)

Answer 2

(5/6)^(2n) ausklammern

(5/6)^(2n)*(1- (5/6)) = 1/6*(5/6)^(2n)

1/6 vor die Summe ziehen

(5/6)^(2n) ) = (25/36)^n

1/6*∑ (25/26)^n von 0 bis oo -> geometrische Reihe ; a0 = 1, q= 25/36

1/6*∑ = 1/6* 1/(1-25/36) = 6/11