K-Vektorraum und Teilmengen Beweis

Question

Es seien \( V \) ein \( \mathbb{K} \)-Vektorraum sowie \( M_{1} \) und \( M_{2} \) Teilmengen von \( V \). Zeigen Sie:

\( \left[M_{1} \cup M_{2}\right]=\left[\left[M_{1}\right] \cup\left[M_{2}\right]\right] \) und insbesondere \( [[M]]=[M] \).

Ich habe Probleme diese Aufgabe zu lösen, ich hoffe mir kann jemand behilflich sein. Vielen Dank

Answer 1

Ich interpretiere die Symbolik so, dass \([M]\) für eine Menge \(M\)

die "lineare Hülle" oder den "Spann" von \(M\) bedeuten soll, also die

Menge aller endlichen Linearkombinationen von Elementen aus \(M\).

Klar sind:

\(M\subseteq [M]\) und

\(N\subseteq M\Rightarrow [N]\subseteq [M]\).

1. Da \([M]\) ein Vektorraum ist, liegt jede Linearkombination seiner Elemente

wieder in \([M]\), also gilt \([[M]]\subseteq [M]\).

Andererseits gilt: \(M\subseteq [M]\Rightarrow [M]\subseteq [[M]]\),

zusammengenommen also \([[M]]=[M]\).

2. \(M_1\cup M_2\subseteq [M_1]\cup [M_2]\Rightarrow [M_1\cup M_2]\subseteq [[M_1]\cup [M_2]]\)

Andererseits gilt \(M_i\subseteq M_1\cup M_2\) für \(i=1,2\).

Folglich: \([M_i]\subseteq [M_1\cup M_2]\) für \(i=1,2\),

schließlich \([M_1]\cup [M_2]\subseteq [M_1\cup M_2]\) und daher

\([[M_1]\cup [M_2]]\subseteq [[M_1\cup M_2]]=[M_1\cup M_2]\),

q.e.d.