F-Vektorraum: Äquivalenzen von Aussagen

Question

Sei \(V\neq \{0\}\) ein \(F\)-Vektorraum, und \(B\subseteq V\) . Beweise die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(a) \(B\) ist eine Basis von \(V\) .

(b) \(B\) ist ein minimales Erzeugendensystem von \(V\), d.h. \(\text{span}(B) = V\) und für alle \(w\in B\) gilt \(\text{span}(B \setminus \{w\})\neq V\) .

(c) Zu jedem \(v\in V \setminus \{0\}\) gibt es ein eindeutiges \(n\in \mathbb{N},v_1,...,v_n\in B\) paarweise verschieden, und \(\lambda_1,...,\lambda_n\in F \setminus \{0\}\) mit \(v=\sum\limits_{j=1}^n \lambda_j\cdot v_j\).

(d) \(B\) ist maximal linear unabhängig in \(V\), sprich \(B\) ist linear unabhängig und für alle \(v\in V \setminus B\) ist \(B\cup \{v\}\) linear abhängig.

Answer 1

(a) ==> (b) :  Sei B eine Basis von V,

also ist B ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V.

==>  Span (B) = V  . Sei nun w∈B. Da B linear unabhängig ist, gibt

es keine Linearkombination der Elemente von B\{w}, die w darstellt.

Somit w ∉  B\{w}.

(b)==> (c). Sei v ∈ V \ {0}. Da (laut (b)) gilt Span (B) = V, kann man v

als Linearkombination der Elemente von B darstellen. Kommt in dieser

Darstellung ein Element von B mehrfach vor, dann kann man die beiden

Summanden ( etwa x*v_i + y*v_i ) zusammenfassen zu (x+y)*v_i.

Auf diese Weise erhält man eine Darstellung

 #    \( v = \sum \limits_{i=1}^{n} λ_i \cdot v_i \) in der alle v_i nur einmal

vorkommen. Sollte eines der Lambdas 0 sein, kann man es weglassen und

hat damit eine Darstellung, wie in (c) beschrieben.

Bleibt zu zeigen, dass dieses n eindeutig bestimmt ist. Gäbe es andere v_i,

mit denen die Darstellung mit weniger Summanden gelingt, dann wäre

deren Span auch gleich V, im Widerspruch zu (b).  Hätte man eine Darstellung

mit mehr als n Summanden, dann könnte man jedes der darin

benutzten v_j mit mit den in #  benutzten vi darstellen und hätte nach geeignetem

Zusammenfassen wieder genau n Summenden.

(c) ==> (d)  Angenommen, B wäre lin. abh. Dann gäbe es in B ein v, das durch die

restlichen Elemente von B in der Form # darstellbar wäre. Etwa so:

\( v = \sum \limits_{i=1}^{n} λ_i \cdot v_i \).

Dann wäre   \( 2v = v + \sum \limits_{i=1}^{n} λ_i \cdot v_i \).

Die Darstellung eines Vektors (nämlich 2v) in der beschriebenen Art mit

     n+1 Summanden. Im Widerspruch zur Eindeutigkeit von n.

Sei nun v∈V\B dann ist v durch die Elemente von B darstellbar, also

B∪{v} lin. abhängig, weil ein Element durch die anderen darstellbar ist.

(d)==>(a) B ist also linear abhängig. Bleibt zu zeigen, dass es auch ein

Erzeugendensstem ist. Angenommen, es gäbe ein v∈V, das nicht mit den

Elementen von B darstellbar ist, dann wäre also  B∪{v} immer noch

lin. unabh. im Widerspruch zu (d).