Zeigen Sie, dass ∑k=1∞ xk genau dann konvergiert, wenn ∑j=1∞ 2j x2j konvergiert.

Question

Sei (x_n)_n∈N eine reelle Folge mit
x₁ ≥ x₂ ≥ . . . ≥ x_n ≥ . . . ≥ 0 .
Zeigen Sie, dass ∑_k=1^∞ x_k genau dann konvergiert, wenn ∑_j=1^∞ 2^j x_2j konvergiert.

Hinweis: Versuchen Sie bei der Hinrichtung jeden Term 2^j x_2j durch eine geeignete endlich Summe der x_k nach oben abzuschätzen. Für die Rückrichtung sollten Sie eine analoge untere Abschätzung finden.

Answer 1

Siehe hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysches_Verdichtungskriterium

Comments

können Sie mir diese Aufgabe erklären

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Hier ist ein vollständiger Beweis. Arbeite den mal durch.