Projektion lineare Algebra

Question

Ich verstehe diese Aufgaben komplett nicht. Bei der a macht es noch etwas Sinn für mich aber wie ich es beweisen soll weiß ich nicht genau. Wäre nett wenn mir jemand bei den Aufgaben helfen könnte.

Text erkannt:

Sei $V$ ein $\mathbb{R}$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung $\pi: V \rightarrow V$ heißt Projektion, wenn $\pi \circ \pi=\pi$ gilt.
a) Sei $\pi$ eine Projektion. Zeigen Sie, dass $V=\operatorname{Kern}(\pi) \oplus \operatorname{Bild}(\pi)$.
b) Seien $\pi_{1}, \ldots, \pi_{n}$ Projektionen, so dass $\sum \limits_{i=1}^{n} \pi_{i}=\mathrm{id}_{V}$ und $\pi_{i} \circ \pi_{j}=0$ für $i \neq j$ gilt. Zeigen Sie:
$V=\bigoplus_{i=1}^{n} \operatorname{Bild}\left(\pi_{i}\right)$
c) Sei $V=\oplus_{i=1}^{n} V_{i}$. Bestimmen Sie Projektionen $\pi_{1}, \ldots, \pi_{n}$ sodass $\operatorname{Bild}\left(\pi_{i}\right)=V_{i}$ und $\pi_{i} \circ \pi_{j}=0$ für $i \neq j$.

Answer 1

Sei p eine Projektion p:V→V.

Sei v∈V. Bleibt zu zeigen: Es gibt u∈Kern(p) und w∈Bild(p)

mit v = u+w  # .

Betrachte p(v-p(v)) = (wegen Linearität) p(v) - p(p(v))

                            =(wegen Projektion) p(v) - p(v) = 0

Also ist u:=v-p(v) ∈ Kern(p)  und offenbar w:=p(v) ∈ Bild(p)

somit ist u+w = v-p(v) + p(v) = v eine Darstellung wie in #

Damit die Summe direkt ist, bleibt zu zeigen

Kern(p) ∩ Bild(p) = {0}.  Dass 0 in dem Durchschnitt ist, ist wohl klar.

Sei also x ∈ Kern(p) ∩ Bild(p)  ==>  p(x)=0 und

       es gibt ein y∈V mit p(y) = x

             ==>x =  p(y) =  p(p(y)) = p(x)  = 0

Also x=0 . Somit Kern(p) ∩ Bild(p) = {0}.

Comments

So ähnlich habe ich die a auch schon hinbekommen jedoch habe ich bei den restlichen zwei überhaupt keinen Ansatz noch Idee