Aloha :)
$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Operation}\\\hline1 & 1 & 1 & 0 &\\1 & 2 & 3 & 1 & -Z_1\\2 & 3 & c & 1 & -2Z_1\\\hline1 & 1 & 1 & 0 &-Z_2\\0 & 1 & 2 & 1 &\\0 & 1 & c-2 & 1 &-Z_2\\\hline1 & 0 & -1 & -1 &\\0 & 1 & 2 & 1 &\\0 & 0 & c-4 & 0 &\end{array}$$
Ab hier müssen wir nun unterscheiden zwischen \(c\ne4\) und \(c=4\):$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Operation}\\\hline1 & 0 & -1 & -1 &\\0 & 1 & 2 & 1 &\\0 & 0 & c-4 & 0 &\colon(c-4)\\\hline1 & 0 & -1 & -1 &+Z_3\\0 & 1 & 2 & 1 &-2Z_3\\0 & 0 & 1 & 0 &\\\hline1 & 0 & 0 & -1 &\Rightarrow x=-1\\0 & 1 & 0 & 1 &\Rightarrow y=1\\0 & 0 & 1 & 0 &\Rightarrow z=0\\\hline\end{array}\quad;\quad\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Operation}\\\hline1 & 0 & -1 & -1 &\\0 & 1 & 2 & 1 &\\0 & 0 & c-4 & 0 &c=4\\\hline1 & 0 & -1 & -1 &\Rightarrow x=z-1\\0 & 1 & 2 & 1 &\Rightarrow y=-2z+1\\0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\\\hline\end{array}$$
Für den Fall \(c\ne4\) erhalten wir eine eindeutige Lösung \((x;y;z)=(-1;1;0)\).
Für den Fall \(c=4\) erhalten wir unendlich viele Lösungen:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z-1\\-2z+1\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+z\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\quad;\quad z\in\mathbb C$$
