Zeigen oder widerlegen Sie, dass M bezüglich folgender Verknüpfungen assoziativ ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen oder Widerlegen Sie, dass M bezüglich folgender Verknüpfungen assoziativ ist.

a) a◦b := min{a,b}

b) a◦b := b^a

Problem/Ansatz:

bei a) wäre ich jetzt so vorgegangen :

(a◦b := min{a,b}) = (b◦a :=min{b,a})

min{a,b} = min{b,a}

-> Also ist a) kommutativ und nicht assoziativ oder ?

b) weiß ich nicht genau wie ich es mit dem b^a machen soll.

Answer 1

a) Zeige oder widerlege, dass

        min {min{a, b}, c} = min {a, min {b,c}}

ist.

Comments

Wieso muss man das auch noch widerlegen? :)

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Das muss man nicht wieder legen.

Das muss man zeigen oder wiederlegen. Weil das die Aufgabenstellung ist.

Übrigens:

Also ist a) kommutativ

Richtig. Aber das war nicht die Aufgabenstllung.

und nicht assoziativ

Das hast du nicht bewiesen.

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Muss man das immer mit dem c dann machen ?

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Wenn du Assoziatiivität untersuchen möchtest, dann brauchst du immer drei Variablen. Weil im Assoziativgesetz

        Für alle \(a,b,c\) gilt \((a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)\)

ja schließlich auch drei Variablen vorkommen.

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min {min{a, b}, c} = min {a, min {b,c}}

min{a,b,c} = min{a,b,c}

wäre das so richtig ? Aber dass würde ja dann heißen es ist auch assoziativ oder nicht ? ^^'

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min {min{a, b}, c} = min {a, min {b,c}}

Das sollst du zeigen oder wiederlegen.

min{a,b,c} = min{a,b,c}

Das ist trivial.

Ich sehe nicht, dass hier irgendetwas bewiesen wurde. Fülle stattdessen folgende Tabelle aus. Wenn überall in der dritten Spalte das gleiche wie in der fünften Spalte steht, dann ist die Verknüpfung assoziativ. Ansonsten ist sie es nicht.

Reihenfolge	\(\min\{a,b\}\)	\(\min \{\min\{a, b\}, c\}\)	\(\min \{b,c\}\)	\(\min \{a, \min \{b,c\}\}\)
\(a\leq b\leq c\)
\(a\leq c\leq b\)
\(b\leq a\leq c\)
\(b\leq c\leq a\)
\(c\leq a\leq b\)
\(c\leq b\leq a\)

Answer 2

b) ist nicht kommutativ, denn sonst müsste gelten:

a o b = b^a =a^b = b o a

für a=2 und b=3 ist aber b^a=3^2=9 und a^b=2^3=8, ist also nicht gleich und somit nicht kommutativ.

Assoziativ auch nicht, denn

(a o b) o c ist nicht immer gleich a o (b o c)

weil c^(b^a) ist nicht immer gleich c^(b*a)

Probiere das mal mit c=2 und a=b=3

Dann siehst du, dass 2^27 nicht gleich 2^9 ist.

Comments

Ahh okay vielen lieben Dank!!

Könntest du mir das bei a) nochmal vorrechnen ? Anscheinend habe ich es falsch gemacht.

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Bei dir sieht a) beim kommutativen Teil richtig aus, musst halt nur begründen, warum min {a,b} = min {b,a} gilt, das kannst du mit der Reihenfolge der Mengen begründen, die hier egal ist. Beim assoziativen Teil bin ich mir nicht sicher, da würde bei der Antwort von oswald schauen.

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warum hast du beim zweitec c^(b*a)? also warum b*a ?

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Weil b o c erstmal c^b ist und dann kommt nach dem Assoziativgesetz

a o c^b und das ist dann nach der Verknüpfung hier c^(b*a), weil ja bei der zweiten Zahl (also c^b) der Exponent mit der ersten Zahl (also a) hier multipliziert wird.