Lösen von linearen Gleichungssystemen

Question

Löse das Gleichungssystem Ax = b über ℝ

A := \( \begin{pmatrix} -3 & -6 & 6 & -2 & -9 \\2 & 4 & -4 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 & -2 & -7 \\ 1 & 0 & 2 & -4 & -13 \\ 1 & 2 & -2 & 1 & 4 \\ 2 & 5 & -6 & 0 & 3 \end{pmatrix} \), b:= \( \begin{pmatrix} -9\\-1\\-5 \\-9\\4\\1 \end{pmatrix} \)

und gib ℒ(A,b) in der Form x* + ⟨b₁, ..., b_k ⟩ mit passendem k ∈ ℕ und passenden Vektoren x*, b₁,..., b_k an

Problem/Ansatz:

Ich habe die Lösungen:

x₁ = 3 - 2x₃ + x₅

x₂ = -1 + 2x₃ - x₅

x₄ = 3 - 3x₅

x₃, x₅ frei

Allerdings weiß ich nicht wie die geforderte Darstellung aussehen soll

Answer 1

Aloha :)

Ich setze deine bisherige Rechnung als richtig voraus.

Die Lösungsvektoren sind dann:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-2x_3+x_5\\-1+2x_3-x_5\\x_3\\3-3x_5\\x_5\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}3\\-1\\0\\3\\0\end{pmatrix}}_{=\vec x^\ast}+x_3\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}-2\\2\\1\\0\\0\end{pmatrix}}_{=\vec b_1}+x_5\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\-3\\1\end{pmatrix}}_{=\vec b_2}$$

Comments

Vielen herzlichen dankeschön :)

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Ich habe dein Ergebnis aber nicht nachgerechnet, sondern nur in die gewünschte Darstellung gebracht ;)

Answer 2

x₁ = 3 - 2x₃ + x₅

x₂ = -1 + 2x₃ - x₅

x₄ = 3 - 3x₅

x₃, x₅ frei

==>  \( \vec{x}=  \begin{pmatrix} 3-2x_3+x_5\\-1+2x_3-x_5\\x_3 \\3-3x_5\\x_5 \end{pmatrix} \)

\( =  \begin{pmatrix} 3\\-1\\0 \\3\\0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -2x_3\\2x_3\\x_3 \\0\\0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x_5\\-x_5\\0 \\-3x_5\\x_5 \end{pmatrix}\)

\( =  \begin{pmatrix} 3\\-1\\0 \\3\\0 \end{pmatrix}+ x_3 \begin{pmatrix} -2\\2\\1 \\0\\0 \end{pmatrix}+ x_5\begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \\-3\\1 \end{pmatrix}\)