Binomialverteilung einer Kinderkrankheit

Question

Aufgabe:

In einer Studie wurde herausgefunden, dass eine Krankheit bei Kindern unter 16 in Frankreich mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,00012% auftrete. Als Stichprobe betrachten wir 72000 Kinder einer Region. Bestimmen sie näherungsweise mit einer geeigneten Schätzregel, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass 2 bis 5 Kinder an der Krankheit leiden.

Problem/Ansatz:

Muss ich dafür alle P(X=x) von 2 bis 5 addieren? Oder wie genau rechne ich hier am effizientesten?

Answer 1

Muss ich dafür alle P(X=x) von 2 bis 5 addieren? Oder wie genau rechne ich hier am effizientesten?

Da die Aufgabe lautet "näherungsweise mit einer geeigneten Schätzregel" solltest du dich fragen ob ihr evtl. gelernt habt die Binomialverteilung durch eine andere Verteilung anzunähern.

Die sollte dann evtl. auffallen das du hier die Poissonverteilung als Näherung verwenden darfst. Also du könntest es einmal exakt über die Binomialverteilung ausrechnen und einmal über die Poissonverteilung.

Bekommst du das alleine hin?

Comments

Da bin ich ehrlich gesagt ein bisschen planlos, muss man dazu nicht lambda haben? Wäre aber trotzdem dankbar für ein genauen Rechenweg, da ich den Aufgabentyp bisher noch nicht gemacht hab.

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Zunächst mal exakt über die Binomialverteilung

n = 72000 ; p = 0.0000012

P(2 ≤ X ≤ 5) = P(X ≤ 5) - P(X ≤ 1) = 0.999999999463557 - 0.996475746228663 = 0.003524253800

Nun über die Poisson-Verteilung

Als Bedingung gilt hier n > 30 und p ≤ 0.05 was ja erfüllt ist.

λ = n·p = 0.0864

P(X ≤ 5) - P(X ≤ 1) = 0,999999999463447 - 0.996575702787771 = 0.003424297300

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Habs jetzt versucht selber nachzurechnen damit ichs selber auch nachvollziehen kann aber ich verstehe nicht ganz wie du auf die Werte bei Poisson kommst. Ich hab so die Werte in die Formel eingesetzt: 0,0864^5/5!*e^(-0,0864)

Das wäre für X=5 als Ergebnis bekomme ich dafür aber 3,68*10^(-8)

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Beachte. Ich habe geschrieben P(X ≤ 5) und nicht P(X = 5). Das ist wichtig.

P(X = 0) = 0.9172272669
P(X = 1) = 0.07924843586
P(X = 2) = 0.003423532429
P(X = 3) = 9.859773396·10^(-5)
P(X = 4) = 2.129711053·10^(-6)
P(X = 5) = 3.680140700·10^(-8)

Es ist an dir, die Werte für X = 2 bis X = 5 aufzuaddieren.

Answer 2

Muss ich dafür alle P(X=x) von 2 bis 5 addieren?

Ja.

Comments

Die Aufgabe lautet:

Bestimmen sie näherungsweise mit einer geeigneten Schätzregel, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass 2 bis 5 Kinder an der Krankheit leiden.

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Ja, ich habs gelesen.

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Ja, ich habs gelesen.

Aha. Also gelesen und ignoriert?

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Nicht alle verstehen die Aufgabe so wie Du.

Der Titel der Aufgabe lautete ursprünglich "Mit Binomial verteilung Wahrscheinlichkeit schätzen" und ich wollte die Möglichkeit nicht völlig ausschließen, dass sich jemand etwas dabei gedacht hatte.