Konstruieren Sie in diesen Kreis ein Rechteck, dessen Seiten im Verhältnis 5:4 zueinander stehen.

Question

Aufgabe:

Ein Kreis hat einen Radius der Länge 5 cm.
Konstruieren Sie in diesen Kreis ein Rechteck, dessen Eckpunkte auf dem Kreis liegen und dessen Seitenlängen im Verhältnis 5:4 zueinander stehen.

Problem/Ansatz:

Die Angabe des Verhältnisses bringt mich durcheinander. Ich weiß das es durch die zentrische Streckung möglich ist aber wie bringe ich das Verhältnis ein?

Liebe Grüße!

Answer 1

Hallo,

zeichne zuerst ein Rechteck mit den Seitenlängen 4 und 5. Das kann 4cm und 5cm oder eine andere Einheit, Hauptsache das Verhältnis stimmt. Zeichne die Diagonalen ein und wähle den Schnittpunkt $M$ der Diagonalen als Mittelpunkt des Kreises und zeichen diesen mit $r = 5\,\text{cm}$.

Verlängere die Diagonalen, so dass sie den Kreis schneiden. Die vier Schnittpunkte der beiden Diagonalen mit dem Kreis sind die Eckpunkte des gesuchten Rechtecks.

falls der Kreis selbst bereits vorgegen ist, kannst Du obige Konstruktion als Hilfskonstruktion nutzen und die Seitenlängen dann auf den gegebenen Kreis übertragen oder eine alternative Konstruktion mit Hilfe des Kreises des Apollonios nutzen:

Zeichne eine Gerade $e$ durch den Mittelpunkt $M$ des Kreises, die den Kreis in $P$ und $R$ schneidet. Zeichne um $R$ einen Kreis mit $8\,\text{cm}$ und um $P$ einen Kreis mit $10\,\text{cm}$ Radius. Die Kreise schneiden sich oberhalb von $e$ in $T_0$. Konstruiere die Winkelhalbierende (gelb) der Geraden durch $PT_0$ und $RT_0$ sowie deren Orthogonale (rot) durch $T_0$. Die Winkelhalbierende und ihre Orthogonale schneiden $e$ in $T_1$ und $T_2$.

Nun zeichne einen Kreis (lila) mit Mittelpunkt $M_T$ (dem Mittelpunkt von $|T_1T_2|$) durch $T_1$, der den Ausgangskreis oberhalb von $e$ in $S$ schneidet. Spiegele $S$ an $M$ zu $Q$. $PQRS$ ist das gesuchte Rechteck.

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank! Auf die Idee bin ich nicht gekommen...gar nicht so schwer wie ich dachte.

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Bitteschön, ich habe Dir noch eine Alternative hinzu gefügt.

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... wenn man drüber nachdenkt, fallen einem noch weitere Variaten ein:

(diesmal ohne Worte)

Answer 2

Du könntest symmetrisch zum Mittelpunkt des Kreises ein Rechteck mit einem passenden Seitenverhältnis konstruieren und dieses dann zentrisch Strecken oder Stauchen, sodass die Ecken auf dem Kreis liegen.

Verstehst du, was ich meine?