Berechnen Sie die Schnittgerade g der Ebenen :

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Schnittgerade g der Ebenen :

$$ E:\vec{x}=\begin{pmatrix} -2\\3\\-4 \end{pmatrix}+ λ *\begin{pmatrix} 2\\0\\-4 \end{pmatrix}+ μ *\begin{pmatrix} 0\\-4\\-5 \end{pmatrix}; λ,μ \in \mathbb{R} F:\vec{x}=\begin{pmatrix} -9\\-13\\-2 \end{pmatrix}+ ρ*\begin{pmatrix} -1\\-4\\5 \end{pmatrix}+σ*\begin{pmatrix} 2\\3\\3 \end{pmatrix}; ρ,σ \in \mathbb{R} $$

x-Koordinate eines Punktes von g:

y-Koordinate eines Punktes von g:

z-Koordinate eines Punktes von g:

x-Koordinate eines Richtungsvektors von g:

y-Koordinate eines Richtungsvektors von g:

z-Koordinate eines Richtungsvektors von g:

Answer 1

Die Gleichung

[-2, 3, -4] + r·[2, 0, -4] + s·[0, -4, -5] = [-9, -13, -2] + t·[-1, -4, 5] + u·[2, 3, 3]

lässt sich aufteilen in 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten

-2 + 2·r = -9 - t + 2·u
3 - 4·s = -13 - 4·t + 3·u
-4 - 4·r - 5·s = -2 + 5·t + 3·u

Löse dieses Gleichungssystem in Abhängigkeit von u auf. Ich erhalte

r = (77·u - 192)/64 ∧ s = (96 - 37·u)/32 ∧ t = - (13·u + 32)/32 = - 13/32·u - 1

Setze das jetzt für t auf die rechte Seite der anfänglichen Gleichung ein und vereinfache den Term

X = [-9, -13, -2] + (- 13/32·u - 1)·[-1, -4, 5] + u·[2, 3, 3]

X = [-9, -13, -2] - [-1, -4, 5] + u·[2, 3, 3] - u·13/32·[-1, -4, 5]

X = [-8, -9, -7] + u·[77/32, 37/8, 31/32]

Substituiere w = u/32

X = [-8, -9, -7] + w·[77, 148, 31]

Das ist jetzt eine mögliche Geradengleichung.

Answer 2

Gleichsetzen gibt (besser nachrechnen)

\(\begin{pmatrix} -2\\3\\-4 \end{pmatrix}+ λ *\begin{pmatrix} 2\\0\\-4 \end{pmatrix}+ μ *\begin{pmatrix} 0\\-4\\-5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -9\\-13\\-2 \end{pmatrix}+ ρ*\begin{pmatrix} -1\\-4\\5 \end{pmatrix}+σ*\begin{pmatrix} 2\\3\\3 \end{pmatrix} \)

ρ=-1- (13/32)σ.

Das in die Gleichung von F einsetzen gibt eine Geradengleichung für

die Schnittgerade.