Aloha :)
Kandidaten für Extremstellen der Funktion$$f(x;y)=e^{x-y}+3e^{x+y}-6x$$findest du dort, wo der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{e^{x-y}+3e^{x+y}-6}{-e^{x-y}+3e^{x+y}}\implies\left\{\begin{array}{r}\red{e^{x-y}}+3\green{e^{x+y}}=6\\-\red{e^{x-y}}+3\green{e^{x+y}}=0\end{array}\right.$$Mit \(\red{a\coloneqq e^{x-y}}\) und \(\green{b\coloneqq e^{x+y}}\) erhalten wir ein neues Gleichunssystem$$\left.\begin{array}{r}a+3b=6\\-a+3b=0\end{array}\right\}\implies a=3\;;\;b=1\implies e^{x-y}=3\;;\;e^{x+y}=1$$
Wegen \(e^{x+y}=1=e^0\) muss \(y=-x\) gelten.
Weiterhin muss wegen \(3=e^{x-y}=e^{2x}\) dann \(2x=\ln(3)\) gelten.
Damit haben wir genau einen Kandidaten für ein Extremum gefunden:\(\quad \underline{\underline{K(\frac{\ln(3)}{2}\big|-\frac{\ln(3)}{2})}}\)
Zur Prüfung des Kandidaten benötigen wir die Hesse-Matrix von \(f(x;y)\):$$H_f(x;y)=\left(\begin{array}{cc}e^{x-y}+3e^{x+y} & (3e^{2y}-1)e^{x-y}\\(3e^{2y}-1)e^{x-y} & e^{x-y}+3e^{x+y}\end{array}\right)\implies H_f\left(\frac{\ln(3)}{2};-\frac{\ln(3)}{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}6 & 0\\0 & 6\end{array}\right)$$
Für den Kandidaten \(K\) hat die Hesse-Matrix den doppelten positiven Eigenwert \(6\) und ist daher positiv definit. Daher handelt es sich bei dem Kandidaten \(K\) tatsächlich um ein Extremum, genauer um ein Minimum.
